Classification analytique de systèmes différentiels linéaires déployant une singularité irrégulière de rang de Poincaré 1

Cette thèse traite de la classification analytique du déploiement de systèmes différentiels linéaires ayant une singularité irrégulière. Elle est composée de deux articles sur le sujet: le premier présente des résultats obtenus lors de l'étude de la confluence de l'équation hypergéométrique et peut être considéré comme un cas particulier du second; le deuxième contient les théorèmes et résultats principaux. Dans les deux articles, nous considérons la confluence de deux points singuliers réguliers en un point singulier irrégulier et nous étudions les conséquences de la divergence des solutions au point singulier irrégulier sur le comportement des solutions du système déployé. Pour ce faire, nous recouvrons un voisinage de l'origine (de manière ramifiée) dans l'espace du paramètre de déploiement $\epsilon$. La monodromie d'une base de solutions bien choisie est directement reliée aux matrices de Stokes déployées. Ces dernières donnent une interprétation géométrique aux matrices de Stokes, incluant le lien (existant au moins pour les cas génériques) entre la divergence des solutions à $\epsilon=0$ et la présence de solutions logarithmiques autour des points singuliers réguliers lors de la résonance. La monodromie d'intégrales premières de systèmes de Riccati correspondants est aussi interprétée en fonction des éléments des matrices de Stokes déployées. De plus, dans le second article, nous donnons le système complet d'invariants analytiques pour le déploiement de systèmes différentiels linéaires $x^2y'=A(x)y$ ayant une singularité irrégulière de rang de Poincaré $1$ à l'origine au-dessus d'un voisinage fixé $\mathbb{D}_r$ dans la variable $x$. Ce système est constitué d'une partie formelle, donnée par des polynômes, et d'une partie analytique, donnée par une classe d'équivalence de matrices de Stokes déployées. Pour chaque valeur du paramètre $\epsilon$ dans un secteur pointé à l'origine d'ouverture plus grande que $2\pi$, nous recouvrons l'espace de la variable, $\mathbb{D}_r$, avec deux secteurs et, au-dessus de chacun, nous choisissons une base de solutions du système déployé. Cette base sert à définir les matrices de Stokes déployées. Finalement, nous prouvons un théorème de réalisation des invariants qui satisfont une condition nécessaire et suffisante, identifiant ainsi l'ensemble des modules.

Analyse quantifiée de l'asymétrie de la marche par application de Poincaré

La marche occupe un rôle important dans la vie quotidienne. Ce processus apparaît comme facile et naturel pour des gens en bonne santé. Cependant, différentes sortes de maladies (troubles neurologiques, musculaires, orthopédiques...) peuvent perturber le cycle de la marche à tel point que marcher devient fastidieux voire même impossible. Ce projet utilise l'application de Poincaré pour évaluer l'asymétrie de la marche d'un patient à partir d'une carte de profondeur acquise avec un senseur Kinect. Pour valider l'approche, 17 sujets sains ont marché sur un tapis roulant dans des conditions différentes : marche normale et semelle de 5 cm d'épaisseur placée sous l'un des pieds. Les descripteurs de Poincaré sont appliqués de façon à évaluer la variabilité entre un pas et le cycle complet de la marche. Les résultats montrent que la variabilité ainsi obtenue permet de discriminer significativement une marche normale d'une marche avec semelle. Cette méthode, à la fois simple à mettre en oeuvre et suffisamment précise pour détecter une asymétrie de la marche, semble prometteuse pour aider dans le diagnostic clinique.

Sur l'inégalité de Visser

Soit p un polynôme d'une variable complexe z. On peut trouver plusieurs inégalités reliant le module maximum de p et une combinaison de ses coefficients. Dans ce mémoire, nous étudierons principalement les preuves connues de l'inégalité de Visser. Nous montrerons aussi quelques généralisations de cette inégalité. Finalement, nous obtiendrons quelques applications de l'inégalité de Visser à l'inégalité de Chebyshev.

L’épistémologie de Marcel Proust dans À la recherche du temps perdu : littérature et savoirs en 1900 : une pensée de l’imprévisible

La somme romanesque que représente À la recherche du temps perdu se constitue au prix d’une « recherche » qui est à prendre au pied de la lettre, et qui instaure le sujet connaissant en savant-chercheur face à son objet de savoir. Proust fait en effet du « savoir » la condition même du talent, et fait entreprendre à son héros une exploration qui se présente en priorité comme étant une quête de savoirs. Ce travail se situe dans le sillage de l’épistémocritique qui étudie l’inscription dans le texte littéraire des savoirs en général, tout en insistant sur les savoirs qui relèvent de la science. Notre but est de dégager la posture épistémique qui caractérise le narrateur de la Recherche face aux divers savoirs qu’il récolte au cours de ses observations. Le parcours cognitif du narrateur est examiné suivant les quatre grandes étapes de sa recherche, que nous redéfinissons en termes de paradigmes : le paradigme de l’Exploration, qui définit une « épistémologie de l’observateur » ; le paradigme de la Communication, qui définit une « épistémologie de l’homme social » et une « épistémologie de l’homme moderne » ; le paradigme de l’Introspection, qui prépare à l’élaboration d’une « épistémologie du personnage intérieur » ; et enfin, le paradigme de la Vocation, qui rassemble les réponses trouvées par le narrateur à la plupart des questionnements qui auront jalonné son parcours cognitif. Ce dernier paradigme se présente sous la forme d’une « épistémologie de la création », d’une « épistémologie du réel » et d’une « épistémologie du hasard ». Car en dépit d’une démarche qui apparaît soumise aux médiations culturelles, la recherche du héros proustien se présente comme une « pensée de l’imprévisible » : fortement déterminée par la recherche cognitive du protagoniste, elle demeure pourtant irréductible à cette seule recherche. Nous dégageons, pour terminer, le statut réservé à la science et aux savoirs positifs en regard de la découverte de la vocation, mais aussi par rapport à l’élaboration d’une théorie de la création littéraire : ces deux grands domaines du savoir sont-ils considérés par Proust comme inconciliables avec une priorité évidente de l’un sur l’autre ou, au contraire, participent-ils tous deux d’une manière égale à la connaissance et à la création artistique ?

Characterization of the unfolding of a weak focus and modulus of analytic classification

La thèse présente une description géométrique d’un germe de famille générique déployant un champ de vecteurs réel analytique avec un foyer faible à l’origine et son complexifié : le feuilletage holomorphe singulier associé. On montre que deux germes de telles familles sont orbitalement analytiquement équivalents si et seulement si les germes de familles de difféomorphismes déployant la complexification de leurs fonctions de retour de Poincaré sont conjuguées par une conjugaison analytique réelle. Le “caractère réel” de la famille correspond à sa Z2-équivariance dans R^4, et cela s’exprime comme l’invariance du plan réel sous le flot du système laquelle, à son tour, entraîne que l’expansion asymptotique de la fonction de Poincaré est réelle quand le paramètre est réel. Le pullback du plan réel après éclatement par la projection monoidal standard intersecte le feuilletage en une bande de Möbius réelle. La technique d’éclatement des singularités permet aussi de donner une réponse à la question de la “réalisation” d’un germe de famille déployant un germe de difféomorphisme avec un point fixe de multiplicateur égal à −1 et de codimension un comme application de semi-monodromie d’une famille générique déployant un foyer faible d’ordre un. Afin d’étudier l’espace des orbites de l’application de Poincaré, nous utilisons le point de vue de Glutsyuk, puisque la dynamique est linéarisable auprès des points singuliers : pour les valeurs réels du paramètre, notre démarche, classique, utilise une méthode géométrique, soit un changement de coordonée (coordonée “déroulante”) dans lequel la dynamique devient beaucoup plus simple. Mais le prix à payer est que la géométrie locale du plan complexe ambiante devient une surface de Riemann, sur laquelle deux notions de translation sont définies. Après avoir pris le quotient par le relèvement de la dynamique nous obtenons l’espace des orbites, ce qui s’avère être l’union de trois tores complexes plus les points singuliers (l’espace résultant est non-Hausdorff). Les translations, le caractère réel de l’application de Poincaré et le fait que cette application est un carré relient les différentes composantes du “module de Glutsyuk”. Cette propriété implique donc le fait qu’une seule composante de l’invariant Glutsyuk est indépendante.

La politique allemande de la France telle que perçue par la presse française (1919-1926)

La France est souvent perçue comme la principale garante du traité de Versailles. Le révisionnisme français envers l’ordre établi par le traité, contrairement au même courant chez les responsables allemands, est un sujet peu étudié. Il a été abordé par quelques auteurs, tels George-Henri Soutou et Stanislas Jeannesson, mais la question mérite davantage d’élaboration. Grâce à l’analyse de la presse française, ce mémoire vérifie l’existence d’une volonté de rendre le traité de paix plus favorable à la France. Une Machtpolitik ainsi qu’un révisionnisme français sont apparents de 1919 à 1923 avec, comme zénith, l’occupation de la Ruhr. Les années suivantes virent la situation de la France se détériorer sur les plans politique, économique et diplomatique. La dégradation de sa posture inclina la France à se tourner vers une conciliation qui émanait de l’esprit du traité de Versailles. La couverture de l’actualité internationale de trois journaux français (Le Temps, L’Action française et L’Humanité) avant et après l’invasion de la Ruhr est analysée. On constate l’existence d’un révisionnisme français qui mène, après son échec en 1924, à un recentrage de la politique allemande de la France. En liant la perception des différents journaux à leur idéologie, nous avons aussi expliqué les variations dans leurs analyses des mêmes événements. L’étude de la presse, conjuguée aux sources secondaires, révèle un discours teinté d’une volonté révisionniste. Elle porte à croire, aussi, que le traité de Versailles ne fut réellement défendu en France qu’après l’échec de la politique de puissance et du révisionnisme français.

Problème centre-foyer et application

Dans ce mémoire, nous étudions le problème centre-foyer sur un système polynomial. Nous développons ainsi deux mécanismes permettant de conclure qu’un point singulier monodromique dans ce système non-linéaire polynomial est un centre. Le premier mécanisme est la méthode de Darboux. Cette méthode utilise des courbes algébriques invariantes dans la construction d’une intégrale première. La deuxième méthode analyse la réversibilité algébrique ou analytique du système. Un système possédant une singularité monodromique et étant algébriquement ou analytiquement réversible à ce point sera nécessairement un centre. Comme application, dans le dernier chapitre, nous considérons le modèle de Gauss généralisé avec récolte de proies.

Représentation d'un polynôme par un circuit arithmétique et chaînes additives

Un circuit arithmétique dont les entrées sont des entiers ou une variable x et dont les portes calculent la somme ou le produit représente un polynôme univarié. On assimile la complexité de représentation d'un polynôme par un circuit arithmétique au nombre de portes multiplicatives minimal requis pour cette modélisation. Et l'on cherche à obtenir une borne inférieure à cette complexité, et cela en fonction du degré d du polynôme. A une chaîne additive pour d, correspond un circuit arithmétique pour le monôme de degré d. La conjecture de Strassen prétend que le nombre minimal de portes multiplicatives requis pour représenter un polynôme de degré d est au moins la longueur minimale d'une chaîne additive pour d. La conjecture de Strassen généralisée correspondrait à la même proposition lorsque les portes du circuit arithmétique ont degré entrant g au lieu de 2. Le mémoire consiste d'une part en une généralisation du concept de chaînes additives, et une étude approfondie de leur construction. On s'y intéresse d'autre part aux polynômes qui peuvent être représentés avec très peu de portes multiplicatives (les d-gems). On combine enfin les deux études en lien avec la conjecture de Strassen. On obtient en particulier de nouveaux cas de circuits vérifiant la conjecture.

Superintégrabilité avec intégrales d'ordre trois, algèbres polynomiales et mécanique quantique supersymétrique

Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Optimisation quadratique en variables binaires : quelques résultats et techniques

Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

L'occupation de la Ruhr et le révisionnisme de l'ordre versaillais dans deux grands journaux français (1920-1924)

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Homologie de morse et théorème de la signature

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Systèmes superintégrables avec spin et intégrales du mouvement d’ordre deux

Ce mémoire est une partie d’un programme de recherche qui étudie la superintégrabilité des systèmes avec spin. Plus particulièrement, nous nous intéressons à un hamiltonien avec interaction spin-orbite en trois dimensions admettant une intégrale du mouvement qui est un polynôme matriciel d’ordre deux dans l’impulsion. Puisque nous considérons un hamiltonien invariant sous rotation et sous parité, nous classifions les intégrales du mouvement selon des multiplets irréductibles de O(3). Nous calculons le commutateur entre l’hamiltonien et un opérateur général d’ordre deux dans l’impulsion scalaire, pseudoscalaire, vecteur et pseudovecteur. Nous donnons la classification complète des systèmes admettant des intégrales du mouvement scalaire et vectorielle. Nous trouvons une condition nécessaire à remplir pour le potentiel sous forme d’une équation différentielle pour les cas pseudo-scalaire et pseudo-vectoriel. Nous utilisons la réduction par symétrie pour obtenir des solutions particulières de ces équations.

On some Density Theorems in Number Theory and Group Theory

Gowers, dans son article sur les matrices quasi-aléatoires, étudie la question, posée par Babai et Sos, de l'existence d'une constante $c>0$ telle que tout groupe fini possède un sous-ensemble sans produit de taille supérieure ou égale a $c|G|$. En prouvant que, pour tout nombre premier $p$ assez grand, le groupe $PSL_2(\mathbb{F}_p)$ (d'ordre noté $n$) ne posséde aucun sous-ensemble sans produit de taille $c n^{8/9}$, il y répond par la négative. Nous allons considérer le probléme dans le cas des groupes compacts finis, et plus particuliérement des groupes profinis $SL_k(\mathbb{Z}_p)$ et $Sp_{2k}(\mathbb{Z}_p)$. La premiére partie de cette thése est dédiée à l'obtention de bornes inférieures et supérieures exponentielles pour la mesure suprémale des ensembles sans produit. La preuve nécessite d'établir préalablement une borne inférieure sur la dimension des représentations non-triviales des groupes finis $SL_k(\mathbb{Z}/(p^n\mathbb{Z}))$ et $Sp_{2k}(\mathbb{Z}/(p^n\mathbb{Z}))$. Notre théoréme prolonge le travail de Landazuri et Seitz, qui considérent le degré minimal des représentations pour les groupes de Chevalley sur les corps finis, tout en offrant une preuve plus simple que la leur. La seconde partie de la thése à trait à la théorie algébrique des nombres. Un polynome monogéne $f$ est un polynome unitaire irréductible à coefficients entiers qui endengre un corps de nombres monogéne. Pour un nombre premier $q$ donné, nous allons montrer, en utilisant le théoréme de densité de Tchebotariov, que la densité des nombres premiers $p$ tels que $t^q -p$ soit monogéne est supérieure ou égale à $(q-1)/q$. Nous allons également démontrer que, quand $q=3$, la densité des nombres premiers $p$ tels que $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})$ soit non monogéne est supérieure ou égale à $1/9$.

Estimation utilisant les polynômes de Bernstein

Ce mémoire porte sur la présentation des estimateurs de Bernstein qui sont des alternatives récentes aux différents estimateurs classiques de fonctions de répartition et de densité. Plus précisément, nous étudions leurs différentes propriétés et les comparons à celles de la fonction de répartition empirique et à celles de l'estimateur par la méthode du noyau. Nous déterminons une expression asymptotique des deux premiers moments de l'estimateur de Bernstein pour la fonction de répartition. Comme pour les estimateurs classiques, nous montrons que cet estimateur vérifie la propriété de Chung-Smirnov sous certaines conditions. Nous montrons ensuite que l'estimateur de Bernstein est meilleur que la fonction de répartition empirique en terme d'erreur quadratique moyenne. En s'intéressant au comportement asymptotique des estimateurs de Bernstein, pour un choix convenable du degré du polynôme, nous montrons que ces estimateurs sont asymptotiquement normaux. Des études numériques sur quelques distributions classiques nous permettent de confirmer que les estimateurs de Bernstein peuvent être préférables aux estimateurs classiques.