A solução particular de equações diferenciais

O tema das equações diferenciais está presente na esmagadora maioria dos planos de estudos dos cursos de licenciatura onde se estudam temas matemáticos. E o mesmo acontece no âmbito de muitos cursos de mestrado e até de doutoramento. De resto, o tema continua em franco desenvolvimento, muito em particular no subdomínio das equações diferenciais às derivadas parciais, e mormente ao nível das aplicações a casos concretos.

A RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES

As primeiras noções do que é uma equação surgem logo nos primeiros anos do ensino secundário, onde se estudam as equações algébricas dos primeiro e segundo graus. Para lá do carácter formativo de tais conceitos, a verdade é que a grande maioria dos alunos que prosseguem estudos superiores onde a Matemática continua a ser estudada, não mais voltam a abordar o aperfeiçoamento do que vem já de trás, muito em especial as equações do tipo algébrico, completas e de grau superior ao segundo.

RESOLVER EQUAÇÕES

É vasto o conjunto de equações que podem apresentar-se no domínio da Matemática, bem como na vida corrente, em que aquela e os seus resultados têm de aplicar-se para resolver problemas concretos ligados a domínios muito variados, e tanto nos de âmbito mais técnico, como nos ligados às designadas Ciências Sociais, passando, lá pelo meio, pela Economia e pela Gestão.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES

Na disciplina de Análise Matemática, logo ao início de certos cursos de licenciatura, é usual tratar, entre outros temas, o das equações diferenciais, sejam ordinárias ou às derivadas parciais.

EQUAÇÕES ÀS DIFERENÇAS ORDINÁRIAS LINEARES

Na disciplina de Análise Matemática, em geral no final do segundo semestre do primeiro ano dos cursos de licenciatura em Economia, Gestão e Engenharia, é usual tratar, entre outros temas, o das equações às diferenças, quase sempre apenas ordinárias.

Estabilidade e Fenómenos de Localização em Elementos de Painel Sanduíche

É estudado o comportamento de pós-encurvadura de painéis sanduiche axialmente comprimidos. Aborda-se o problema com formulação alternativas, permitindo investigar a possibilidade de configurações deformadas deferentes daquelas obtidas por uma análise de Rayleigh-Ritz convencional. São usados alguns princípios gerais de elasticidade, deduzindo-se a função de emergia potencial total, dependente de um campo de deslocamentos. Admite-se um campo harmónico de amplitude constante, que é introduzido na função da energia potencial total, e discutem-se algumas diferenças observadas nos estudos, em relação a modelos estudados anteriormente. As técnicas utilizadas na pesquisa de soluções localizadas são introduzidas com o estudo do problema da viga em função elástica não linear. Analogia dinâmica e a técnica de dupla escala com perturbação são utilizadas para a introdução de conceitos de localização. Por último, aplica-se a um painel sanduíche a técnica de dupla escala com perturbação para deduzir as equações diferenciais nas amplitudes. Discute-se a solução destas equações com alguns exemplos, fazendo-se a resolução analítica e numérica das equações diferencias nas amplitudes.

Hidrossedimentologia e disponibilidade hídrica da bacia hidrográfica da Barragem de Poilão

TEIXEIRA, José João Lopes. Departamento de Engenharia Agrícola, Centro de Ciências Agrárias da Universidade Federal do Ceará, Agosto de 2011. Hidrossedimentologia e disponibilidade hídrica da bacia hidrográfica da Barragem de Poilão, Cabo Verde. Orientador: José Carlos de Araújo. Examinadores: George Leite Mamede, Pedro Henrique Augusto Medeiros. O Arquipélago de Cabo Verde, situado na costa ocidental africana, sofre influência do deserto de Saara tornando o clima caraterizado por pluviometria muito baixa e distribuída irregularmente no espaço e no tempo. As chuvas são muito concentradas, gerando grandes escoamentos para o mar. O aumento da disponibilidade hídrica requer além da construção e manutenção de infraestrutura de captação e conservação de águas pluviais, uma gestão eficiente destes recursos. Atualmente, constitui um dos eixos estratégicos da política do estado de Cabo Verde, a captação, armazenamento e mobilização de águas superficiais através de construção de barragens. Estudos do comportamento hidrológico e sedimentológico do reservatório e da sua bacia de contribuição constituem premissas básicas para um ótimo dimensionamento, gestão e monitoramento da referida infraestrutura. É neste sentido que o presente estudo objetivou sistematizar informações hidrológicas e sedimentológicas da bacia hidrográfica da Barragem de Poilão (BP) e apresentar proposta operacional de longo prazo. A área de estudo ocupa 28 km² a montante da Bacia Hidrográfica da Ribeira Seca (BHRS) na Ilha de Santiago. A altitude da bacia varia de 99 m, situada na cota da barragem, até 1394 m. Para o estudo, foram utilizados e sistematizados, série pluviométrica de 1973 a 2010, registos de vazão instantânea do período 1984 a 2000 e registos agroclimáticos da área de estudo (1981 a 2004). Para o preenchimento das falhas tanto dos escoamentos como da descarga sólida em suspensão, foi utilizado o método de curva chave. Para estimativa de produção de sedimentos na bacia, aplicou-se a Equação Universal de Perda de Solo (USLE) e a razão de aporte de sedimentos (SDR). O índice de retenção de sedimentos no reservatório foi estimado pelo método de Brune e a distribuição de sedimento pelo método empírico de redução de área descrito por Borland e Miller e, revisado por Lara. Para gerar e simular curvas de vazão versus garantia foi utilizado código computacional VYELAS, desenvolvido por Araújo e baseado na abordagem de Campos. Também foi avaliada a redução da vazão de retirada do período 2006 a 2026, provocado pelo assoreamento do reservatório. Concluiu-se que em média a precipitação anual é de 323 mm, concentrando-se 73% nos meses de agosto e setembro; a bacia de contribuição apresenta como valor um número de curva (CN) de 76, com abstração inicial (Ia) de 26 mm, coeficiente de escoamento de 19% e uma vazão anual afluente de 1,7 hm³(cv= 0,73); a disponibilidade hídrica para uma garantia de 85% é avaliada em 0,548 hm³/ano e não 0,671 hm³/ano como indica o projeto original. Com uma descarga sólida estimada em 22.185 m³/ano conclui-se que até o ano de 2026, a capacidade do reservatório reduz a uma taxa de 1,8 % ao ano, devido ao assoreamento, provocando uma redução de 41% da disponibilidade hídrica inicial. Nessa altura, as perdas por evaporação e sangria serão da ordem de 81% da vazão afluente de entrada no reservatório. Na base desses resultados se apresentou proposta de operação da BP.

Análise da Estrutura de um Edifício em Betão Armado Usando um Método dos Elementos Finitos

Pretende-se, utilizando o Modelo da Elasticidade Linear em freeFEM++, determinar os esforços e deslocamentos de um edifício alto submetido apenas à acção do peso próprio da estrutura e, efectuar estudos comparativos dos resultados obtidos com o SAP2000. O trabalho inicia-se com a introdução da teoria da elasticidade linear, onde são feitas as deduções das Equações de Compatibilidade, Equilíbrio e as Leis Constitutivas, de modo a resolver numericamente o problema de Elasticidade Linear mencionado. O método de elementos finitos será implementado em freeFEM++ com auxílio do GMSH que é uma poderosa ferramenta com capacidade de gerar automaticamente malhas tridimensionais de elementos finitos e com relativa facilidade de pré e pós-processamento.

Otimização Não Linear de Mínimos Quadrados

O problema de otimização de mínimos quadrados e apresentado como uma classe importante de problemas de minimização sem restrições. A importância dessa classe de problemas deriva das bem conhecidas aplicações a estimação de parâmetros no contexto das analises de regressão e de resolução de sistemas de equações não lineares. Apresenta-se uma revisão dos métodos de otimização de mínimos quadrados lineares e de algumas técnicas conhecidas de linearização. Faz-se um estudo dos principais métodos de gradiente usados para problemas não lineares gerais: Métodos de Newton e suas modificações incluindo os métodos Quasi-Newton mais usados (DFP e BFGS). Introduzem-se depois métodos específicos de gradiente para problemas de mínimos quadrados: Gauss-Newton e Levenberg-Larquardt. Apresenta-se uma variedade de exemplos selecionados na literatura para testar os diferentes métodos usando rotinas MATLAB. Faz-se uma an alise comparativa dos algoritmos baseados nesses ensaios computacionais que exibem as vantagens e desvantagens dos diferentes métodos.

Hidrossedimentologia e Disponibilidade Hídrica da Bacia Hidrográfica da Barragem de Poilão - Cabo Verde

O Arquipélago de Cabo Verde, situado na costa ocidental africana, sofre influência do deserto de Saara tornando o clima caraterizado por pluviometria muito baixa e distribuída irregularmente no espaço e no tempo. As chuvas são muito concentradas, gerando grandes escoamentos para o mar. O aumento da disponibilidade hídrica requer além da construção e manutenção de infraestrutura de captação e conservação de águas pluviais, uma gestão eficiente destes recursos. Atualmente, constitui um dos eixos estratégicos da política do estado de Cabo Verde, a captação, armazenamento e mobilização de águas superficiais através de construção de barragens. Estudos do comportamento hidrológico e sedimentológico do reservatório e da sua bacia de contribuição constituem premissas básicas para um ótimo dimensionamento, gestão e monitoramento da referida infraestrutura. É neste sentido que o presente estudo objetivou sistematizar informações hidrológicas e sedimentológicas da bacia hidrográfica da Barragem de Poilão (BP) e apresentar proposta operacional de longo prazo. A área de estudo ocupa 28 km² a montante da Bacia Hidrográfica da Ribeira Seca (BHRS) na Ilha de Santiago. A altitude da bacia varia de 99 m, situada na cota da barragem, até 1394 m. Para o estudo, foram utilizados e sistematizados, série pluviométrica de 1973 a 2010, registos de vazão instantânea do período 1984 a 2000 e registos agroclimáticos da área de estudo (1981 a 2004). Para o preenchimento das falhas tanto dos escoamentos como da descarga sólida em suspensão, foi utilizado o método de curva chave. Para estimativa de produção de sedimentos na bacia, aplicou-se a Equação Universal de Perda de Solo (USLE) e a razão de aporte de sedimentos (SDR). O índice de retenção de sedimentos no reservatório foi estimado pelo método de Brune e a distribuição de sedimento pelo método empírico de redução de área descrito por Borland e Miller e, revisado por Lara. Para gerar e simular curvas de vazão versus garantia foi utilizado código computacional VYELAS, desenvolvido por Araújo e baseado na abordagem de Campos. Também foi avaliada a redução da vazão de retirada do período 2006 a 2026, provocado pelo assoreamento do reservatório. Concluiu-se que em média a precipitação anual é de 323 mm, concentrando-se 73% nos meses de agosto e setembro; a bacia de contribuição apresenta como valor um número de curva (CN) de 76, com abstração inicial (Ia) de 26 mm, coeficiente de escoamento de 19% e uma vazão anual afluente de 1,7 hm³(cv= 0,73); a disponibilidade hídrica para uma garantia de 85% é avaliada em 0,548 hm³/ano e não 0,671 hm³/ano como indica o projeto original. Com uma descarga sólida estimada em 22.185 m³/ano conclui-se que até o ano de 2026, a capacidade do reservatório reduz a uma taxa de 1,8 % ao ano, devido ao assoreamento, provocando uma redução de 41% da disponibilidade hídrica inicial. Nessa altura, as perdas por evaporação e sangria serão da ordem de 81% da vazão afluente de entrada no reservatório. Na base desses resultados se apresentou proposta de operação da BP.

Avaliação Teórica do Comportamento à Torção de Lajes de Betão Armado

Neste trabalho é feita uma avaliação teórica do comportamento à torção de lajes de Betão Armado (BA). Em virtude dos resultados obtidos em ensaios experimentais, sabe-se que a curva que define a resistência à torção de lajes de BA é constituída por três fases distintas: A fase linear elástica, não fissurada; a fase não linear, de desenvolvimento de fissuras até se atingir a cedência e por último, a fase de plastificação das armaduras até se atingir a rotura no ponto de carga máxima. Um aspecto relevante para a análise da curva momento torsor-rotação unitária T-θ, é a diminuição acentuada da rigidez ao se passar da fase inicial para a segunda fase. Assim, a avaliação consiste na análise de resultados experimentais, de lajes quadradas ensaiadas à torção pura, e na análise de resultados obtidos com modelos numéricos, recorrendo a dois programas computacionais distintos. Com o objectivo de caracterizar o comportamento genérico de lajes de BA sujeitas à torção, são feitos testes paramétricos, a nível numérico, relativos à geometria, às características do betão e às características do aço, constituintes das lajes. Os resultados obtidos são confrontados com os experimentais a fim de se chegar a relações que permitam a caracterização de cada uma das fases da curva do comportamento. Por um lado, são propostos parâmetros adimensionais, designados de momentos torsores reduzidos, que reúnem as relações paramétricas e facilitam a obtenção dos momentos torsores nos pontos característicos das curvas. Por outro lado, são propostas equações simples para a obtenção da rotação unitária nos mesmos pontos. Assim se define a pretendida curva genérica do comportamento. É verificada a aplicabilidade e a fiabilidade dos resultados ao serem confrontados com os exemplos experimentais disponíveis. Os resultados obtidos são analisados e discutidos. Apresentam-se também as principais conclusões a que se chegaram bem como as sugestões para a continuação do desenvolvimento deste tema no futuro.