Introdução à Geometria Fractal

No passado, a Matemática esteve, em grande parte, preocupada com conjuntos e funções que podem ser estudados através dos métodos clássicos de cálculo1. Por exemplo, na geometria, Havia o hábito de descrever os objectos através de formas regulares: rectas, circunferências, cones etc. Mas, será que uma nuvem é formada por esferas, uma montanha por cones e continentes por circunferências? Existem alguns objectos na natureza, nas ciências em geral e na matemática, em particular (conjuntos, funções), que não são suficientemente "lisos" e que tendiam a ser ignorados e rotulados como “patológicos” . Tais objectos foram considerados como curiosidades, e assim, estudados e analisados por alguns investigadores ao longo dos tempos. Porém, em 1960, Benoit B. Mandelbrot2, trouxe essa matéria à agenda matemática da actualidade, apresentando uma fundamentação coerente do que seriam essas "não-formas". Refazendo alguns estudos nessa área e conhecendo ideias de outros autores apresentou estudos sobre fractais criando assim a teoria dos fractais ou a geometria fractal. Os fractais caracterizam-se por terem uma aparência complexa e confusa, em certos casos, mas quando olhados matematicamente, sua análise denota figuras que apresentam regularidades e comportamentos curiosos, como o de se assemelharem a elas mesmas quando observadas a diferentes escalas, por exemplo. A geometria fractal é portanto o ramo da Matemática que estuda as propriedades dos fractais. Descreve muitas situações que não podem ser explicadas facilmente pela Geometria Euclidiana. A geometria fractal descreve taambém como os fractais podem ser aplicados na ciência, tecnologia, arte, etc., sobretudo com recurso computadores. A geometria fractal ainda não fez a sua entrada nos programas dematemática no sistema educativo cabo-verdiano, sendo portanto, pouco conhecida nesse meio. Assim escolhemos essa geometria como tema do nosso trabalho, cujo objectivo geral é divulgar o mundo dos fractais e as suas aplicações, na educação. Aprofundar os conhecimentos sobre a geometria fractal e suas aplicações práticas e no ensino, integrar os conhecimentos de Álgebra Linear, Geometria e Topologia adquiridos no curso e aplicar os fractais ao estudo das sucessões (progressões geométricas) são os objectivos específicos. A partir destes objectivos surgiram as nossas questões de investigação, que tentamos responder ao longo do estudo: 1. Como se fundamenta a geometria fractal? 2. Quais são as principais aplicações? 3. Como aplicar os fractais no ensino secundário (sucessões), de modo a tornar o ensino de matemática mais interessante e motivador? Tais são as questões para as quais procuramos uma resposta ao longo do desenvolvimento do projecto.

Estudo de caso: o uso da língua portuguesa por jovens provindos de outros países no domínio privado, público e educativo

A afluência de imigrantes a Portugal, nas últimas três décadas transformou radicalmente todo o tecido social português, caracterizando-se hoje pela sua heterogeneidade. Até ao início da década de 90 do século XX, os fluxos migratórios provinham essencialmente dos Países de Língua Oficial Portuguesa, com maior incidência de Cabo Verde, Brasil e Angola. É nessa década que se registam movimentos bastante significativos de imigrantes provenientes da Europa Central e Oriental, principalmente da Ucrânia, Rússia, Roménia e Moldávia, assim como da Ásia, destacando-se os naturais da China, Índia, Paquistão e das antigas repúblicas soviéticas. De acordo com a análise apresentada pelo Instituto Nacional de Estatística em Dezembro de 2006, residiam de forma legal em Portugal 329 898 cidadãos de nacionalidade estrangeira, sendo as maiores comunidades de Cabo Verde (57 349), Brasil (41 728) e Angola (28 854). A sociedade portuguesa do século XXI, distancia-se cada vez mais do conceito de monolinguismo, tal como se evidencia no Projecto Gulbenkian “Diversidade Linguística na Escola Portuguesa”, que, segundo o estudo feito, onze por cento dos alunos residentes na área da Grande Lisboa nasceram fora de Portugal e têm como línguas maternas cinquenta e oito idiomas. É urgente uma intervenção diferente no que corresponde a esta nova realidade linguística em Portugal e sobretudo no que concerne à integração do “outro”, reconhecendo e respeitando as várias línguas maternas e culturas, como também a sua preservação a fim de possibilitar o desenvolvimento íntegro e harmonioso da identidade. A heterogeneidade da actual sociedade portuguesa impõe um olhar atento para com esta nova realidade no país, sobretudo em muitas das escolas onde a par do uso da língua portuguesa outras línguas são também usadas como forma de comunicação entre os mesmos pares, situação esta perfeitamente desajustada da realidade escolar madeirense Estudo de caso: O uso da Língua Portuguesa por jovens oriundos de outros países nos domínios privado, público e educativo. 10 de inícios da década de 90 do século XX, à excepção dos alunos provenientes da Venezuela, os denominados luso-descendentes. A escola mudara, tudo se alterara, havia que tentar perceber o que estava a ocorrer, um novo Mundo “invadira” as turmas, prontas a aprender, a saber, a descobrir. Era preciso preencher o silêncio expectante. Aprender uma nova língua, a portuguesa, decorrente da obrigatoriedade implícita de tratar-se da língua oficial, obrigava a repensar o ensino, a continuamente desvendar novos caminhos possibilitadores de encontro entre a língua materna e a segunda, de reencontro com a identidade linguística e cultural que não se quer perdidas, só tornado possível na diferença. A par de uma escola que se apresentava de forma diferente, cuja intervenção teria de ser oposta à de então, uma vez que a aprendizagem do português era feita como língua segunda (L2), muitas foram e são as inquietações, um turbilhão de interrogações decorriam deste contacto constante de uma língua que se diz minha, fonte de partilha com outros jovens. O uso da língua portuguesa confinar-se-á unicamente à escola com os professores e colegas ou despoletará curiosidades, vontades, interesses, motivados por objectivos confinados ao percurso e à história humana? Muitas são as interrogações que ocorrem, muitos são também os momentos de sabedoria mútua de línguas e países a desvendar num contínuo ininterrupto e é essa constante procura que determina a busca de respostas. Entre muitas interrogações uma afigurava-se de forma latente, quiçá fonte de resposta para outras interrogações inerentes à língua portuguesa como língua segunda. A sua utilização por parte dos alunos de outras nacionalidades nos domínios privado, público e educativo engloba domínios diversos capazes de informar acerca do uso dessa mesma língua. Importa no entanto reforçar que estes alunos constituem um grupo heterogéneo sob diversos pontos de vista: etário, linguístico e cultural. Do ponto de vista linguístico a população que tem o português como língua segunda abrange alunos falantes de diferentes línguas maternas, umas mais próximas, outras mais afastadas do português, propiciando diferentes graus de transferência de conhecimentos linguísticos e de experiências comunicativas, como também em diferentes estádios de aquisição e que fora da escola o usam em maior ou menor número de contextos e com um grau de frequência desigual. Estudo de caso: O uso da Língua Portuguesa por jovens oriundos de outros países nos domínios privado, público e educativo. 11 Dispõem também de diferentes capacidades individuais para discriminar, segmentar e produzir sequências linguísticas. Já do ponto de vista cultural apresentam diferentes hábitos de aprendizagem, bem como diferentes representações e expectativas face à escola. Todos estes factores determinarão ritmos de progressão distintos no que respeita à aprendizagem do português como língua segunda. As oportunidades de aprendizagem e de uso que cada indivíduo tem ao longo da vida, determinantes no processo de aquisição, desenvolvimento e aprendizagem de uma língua, variam bastante de indivíduo para indivíduo. Os alunos podem viver num mesmo contexto no entanto razões variadíssimas determinarão diferentes oportunidades de aprendizagem e de uso. Viver-se num contexto de imersão não é suficiente para que todos tenham o mesmo grau de exposição a material linguístico rico e variado da L2. Essas oportunidades também se relacionam com a distância linguística entre língua primeira (L1) e a língua segunda, quanto mais afastadas são as duas línguas mais os falantes da L2 se refugiam na sua língua materna, assim como também se associam aos hábitos culturais da comunidade e da família.

Estudo de caso : o uso da língua portuguesa por jovens provindos de outros países no domínio privado, público e educativo

A afluência de imigrantes a Portugal, nas últimas três décadas transformou radicalmente todo o tecido social português, caracterizando-se hoje pela sua heterogeneidade. Até ao início da década de 90 do século XX, os fluxos migratórios provinham essencialmente dos Países de Língua Oficial Portuguesa, com maior incidência de Cabo Verde, Brasil e Angola. É nessa década que se registam movimentos bastante significativos de imigrantes provenientes da Europa Central e Oriental, principalmente da Ucrânia, Rússia, Roménia e Moldávia, assim como da Ásia, destacando-se os naturais da China, Índia, Paquistão e das antigas repúblicas soviéticas. De acordo com a análise apresentada pelo Instituto Nacional de Estatística em Dezembro de 2006, residiam de forma legal em Portugal 329 898 cidadãos de nacionalidade estrangeira, sendo as maiores comunidades de Cabo Verde (57 349), Brasil (41 728) e Angola (28 854). A sociedade portuguesa do século XXI, distancia-se cada vez mais do conceito de monolinguismo, tal como se evidencia no Projecto Gulbenkian “Diversidade Linguística na Escola Portuguesa”, que, segundo o estudo feito, onze por cento dos alunos residentes na área da Grande Lisboa nasceram fora de Portugal e têm como línguas maternas cinquenta e oito idiomas. É urgente uma intervenção diferente no que corresponde a esta nova realidade linguística em Portugal e sobretudo no que concerne à integração do “outro”, reconhecendo e respeitando as várias línguas maternas e culturas, como também a sua preservação a fim de possibilitar o desenvolvimento íntegro e harmonioso da identidade. A heterogeneidade da actual sociedade portuguesa impõe um olhar atento para com esta nova realidade no país, sobretudo em muitas das escolas onde a par do uso da língua portuguesa outras línguas são também usadas como forma de comunicação entre os mesmos pares, situação esta perfeitamente desajustada da realidade escolar madeirense Estudo de caso: O uso da Língua Portuguesa por jovens oriundos de outros países nos domínios privado, público e educativo. 10 de inícios da década de 90 do século XX, à excepção dos alunos provenientes da Venezuela, os denominados luso-descendentes. A escola mudara, tudo se alterara, havia que tentar perceber o que estava a ocorrer, um novo Mundo “invadira” as turmas, prontas a aprender, a saber, a descobrir. Era preciso preencher o silêncio expectante. Aprender uma nova língua, a portuguesa, decorrente da obrigatoriedade implícita de tratar-se da língua oficial, obrigava a repensar o ensino, a continuamente desvendar novos caminhos possibilitadores de encontro entre a língua materna e a segunda, de reencontro com a identidade linguística e cultural que não se quer perdidas, só tornado possível na diferença. A par de uma escola que se apresentava de forma diferente, cuja intervenção teria de ser oposta à de então, uma vez que a aprendizagem do português era feita como língua segunda (L2), muitas foram e são as inquietações, um turbilhão de interrogações decorriam deste contacto constante de uma língua que se diz minha, fonte de partilha com outros jovens. O uso da língua portuguesa confinar-se-á unicamente à escola com os professores e colegas ou despoletará curiosidades, vontades, interesses, motivados por objectivos confinados ao percurso e à história humana? Muitas são as interrogações que ocorrem, muitos são também os momentos de sabedoria mútua de línguas e países a desvendar num contínuo ininterrupto e é essa constante procura que determina a busca de respostas. Entre muitas interrogações uma afigurava-se de forma latente, quiçá fonte de resposta para outras interrogações inerentes à língua portuguesa como língua segunda. A sua utilização por parte dos alunos de outras nacionalidades nos domínios privado, público e educativo engloba domínios diversos capazes de informar acerca do uso dessa mesma língua. Importa no entanto reforçar que estes alunos constituem um grupo heterogéneo sob diversos pontos de vista: etário, linguístico e cultural. Do ponto de vista linguístico a população que tem o português como língua segunda abrange alunos falantes de diferentes línguas maternas, umas mais próximas, outras mais afastadas do português, propiciando diferentes graus de transferência de conhecimentos linguísticos e de experiências comunicativas, como também em diferentes estádios de aquisição e que fora da escola o usam em maior ou menor número de contextos e com um grau de frequência desigual. Estudo de caso: O uso da Língua Portuguesa por jovens oriundos de outros países nos domínios privado, público e educativo. 11 Dispõem também de diferentes capacidades individuais para discriminar, segmentar e produzir sequências linguísticas. Já do ponto de vista cultural apresentam diferentes hábitos de aprendizagem, bem como diferentes representações e expectativas face à escola. Todos estes factores determinarão ritmos de progressão distintos no que respeita à aprendizagem do português como língua segunda. As oportunidades de aprendizagem e de uso que cada indivíduo tem ao longo da vida, determinantes no processo de aquisição, desenvolvimento e aprendizagem de uma língua, variam bastante de indivíduo para indivíduo. Os alunos podem viver num mesmo contexto no entanto razões variadíssimas determinarão diferentes oportunidades de aprendizagem e de uso. Viver-se num contexto de imersão não é suficiente para que todos tenham o mesmo grau de exposição a material linguístico rico e variado da L2. Essas oportunidades também se relacionam com a distância linguística entre língua primeira (L1) e a língua segunda, quanto mais afastadas são as duas línguas mais os falantes da L2 se refugiam na sua língua materna, assim como também se associam aos hábitos culturais da comunidade e da família.