A mathematical study of fuzzy logic; an algebraic approach

Fuzzy set theory and Fuzzy logic is studied from a mathematical point of view. The main goal is to investigatecommon mathematical structures in various fuzzy logical inference systems and to establish a general mathematical basis for fuzzy logic when considered as multi-valued logic. The study is composed of six distinct publications. The first paper deals with Mattila'sLPC+Ch Calculus. THis fuzzy inference system is an attempt to introduce linguistic objects to mathematical logic without defining these objects mathematically.LPC+Ch Calculus is analyzed from algebraic point of view and it is demonstratedthat suitable factorization of the set of well formed formulae (in fact, Lindenbaum algebra) leads to a structure called ET-algebra and introduced in the beginning of the paper. On its basis, all the theorems presented by Mattila and many others can be proved in a simple way which is demonstrated in the Lemmas 1 and 2and Propositions 1-3. The conclusion critically discusses some other issues of LPC+Ch Calculus, specially that no formal semantics for it is given.In the second paper the characterization of solvability of the relational equation RoX=T, where R, X, T are fuzzy relations, X the unknown one, and o the minimum-induced composition by Sanchez, is extended to compositions induced by more general products in the general value lattice. Moreover, the procedure also applies to systemsof equations. In the third publication common features in various fuzzy logicalsystems are investigated. It turns out that adjoint couples and residuated lattices are very often present, though not always explicitly expressed. Some minor new results are also proved.The fourth study concerns Novak's paper, in which Novak introduced first-order fuzzy logic and proved, among other things, the semantico-syntactical completeness of this logic. He also demonstrated that the algebra of his logic is a generalized residuated lattice. In proving that the examination of Novak's logic can be reduced to the examination of locally finite MV-algebras.In the fifth paper a multi-valued sentential logic with values of truth in an injective MV-algebra is introduced and the axiomatizability of this logic is proved. The paper developes some ideas of Goguen and generalizes the results of Pavelka on the unit interval. Our proof for the completeness is purely algebraic. A corollary of the Completeness Theorem is that fuzzy logic on the unit interval is semantically complete if, and only if the algebra of the valuesof truth is a complete MV-algebra. The Compactness Theorem holds in our well-defined fuzzy sentential logic, while the Deduction Theorem and the Finiteness Theorem do not. Because of its generality and good-behaviour, MV-valued logic can be regarded as a mathematical basis of fuzzy reasoning. The last paper is a continuation of the fifth study. The semantics and syntax of fuzzy predicate logic with values of truth in ana injective MV-algerba are introduced, and a list of universally valid sentences is established. The system is proved to be semanticallycomplete. This proof is based on an idea utilizing some elementary properties of injective MV-algebras and MV-homomorphisms, and is purely algebraic.

Matematiikka

Matematiikan pääkokoelma sijaitsee pääkirjastossa (Linnassa), jossa painettu yleis- ja käsikirjastokokoelma koostuu noin 4700 nimekkeestä monografioita (painettujen monografiasarjojen osat mukaan lukien). Yleiskokoelmaa ei ole karsittu, mutta vanhoja peruskoulun, lukion jne. oppikirjoja on siirretty Hämeenlinnan yksikköön. Matematiikka-kokoelmasta kartoitettiin seitsemän osa-aluetta. Todennäköisyyslaskentaa, kombinatoriikkaa & sovellettua matematiikkaa käsitteli yli 1/3 kirjoista (34 % / 1586 nimekettä), joten se oli selvin painopisteala. Aritmetiikkaa, lukuteoriaa & algebraa käsitteli noin 19 % kirjoista (876 nimekettä) ja matemaattista analyysiä noin 18 % kirjoista (841 nimekettä). Matematiikan yleisteosten & filosofian (noin 10 % / 487 nimekettä), joukko-opin (noin 5 % / 218 nimekettä), geometrian & trigonometrian (noin 4 % / 179 nimekettä) ja topologian (noin 3 % / 121 nimekettä) osuudet kirjakokoelmasta olivat pienehköjä. Käsikirjaston 23 nimekkeen kokoelma sisälsi edelleen hyödyllisen 10-osaisen hakuteoksen Encyclopaedia of mathematics, sanakirjoja ja matemaattisia taulukoita sekä muutaman bibliografian 1970-luvulta. Painettuja lehtiä oli 3 nimekettä (American Mathematical Monthly, Journal of Mathematical Logic ja Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society). Sähkökirjoja kokoelmassa oli 3 nimekettä NetLibrary-tietokannassa, 346 nimekettä Ebrary-tietokannassa sekä 10 nimekettä Taylor & Francis –tietokannassa. Verkkolehtiä kokoelmassa oli noin 470 nimekettä. Tietokantoja oli yksi, MathScinet.

Long-term fertilizer field trials: comparison of three mathematical response models

Selostus: Lannoituksen pitkäaikaiset kenttäkokeet: kolmen matemaattisen mallin vertailu

Three mathematical models for bucking-to-order

Abstract

Kulutusosapalvelun hinnoittelumallin kehittäminen

Tämä diplomityö käsittelee paperikoneiden kulutusosapalvelua tarjoavan yrityksen hinnoittelumallin kehittämistä haastavassa toimintaympäristössä, jossa kilpailu on kiristynyt ja asiakkaat ovat muuttuneet entistä hintatietoisemmiksi. Työn tavoitteena on kehittää kulutusosapalvelulle hinnoittelumalli ja pohtia ¤/tuotettu paperitonni (¤/tonni)-hinnoittelun soveltuvuutta paperikoneiden kulutusosapalvelua toimittaville yrityksille. ¤/tonni-hinnoittelussalähtökohta on asiakkaalle tuotettu hyöty; kuinka paljon paperia kulutusosilla pystytään tuottamaan. ¤/tonni-hinnoittelua tarkastellaan tarkemmin esimerkkiasiakkaiden avulla, joiden tehtailla toimintatavat kulutusosapalveluun liittyen vaihtelevat. Tavoitteena on selvittää kulutusosapalvelun ¤/tonni-kustannukset eri toimintatavoissa kulutusosapalveluita tarjoavan yrityksen sekä asiakkaan näkökulmasta. Työssä selvitetään kuinka eri toimintatapojen ja asiakkaiden kannattavuus vaihtelee kulutusosapalveluita tarjoavan yrityksen kannalta, jamikä toimintamalli on edullisin asiakkaan kannalta. Kehitettävän hinnoittelumallin avulla analysoidaan, kuinka paljon hyötyä kulutusosapalveluita tarjoava yritys tarjoaa asiakkailleen palveluillaan. Kulutusosapalvelu jaetaan kolmeen selvitettävään kustannuskomponenttiin; kulutusosa-, logistiikka- ja laadun puutekustannuksiin. Työn teoreettinen osa koostuu kirjallisuustutkimuksesta liittyen hinnoitteluun, hinnoittelumalleihin ja hinnoittelusopimuksiin. Työnempiirinen osa perustuu haastatteluihin ja sisäisten tietojärjestelmien tietoihin. Kirjallisuustutkimuksen, haastattelujen ja kohdeyrityksen sisäisen materiaalin avulla mallinnetaan loogismatemaattisesti taulukkolaskentasovellus, ¤/tonni-hinnoittelumalli. Työn keskeiset tulokset liittyvät siihen, mitä asioita tulee huomioida ¤/tonni-hinnoittelusopimusta asiakkaan kanssa tehtäessä, miten ¤/tonni-kustannukset vaihtelevat eri toimintavoissa ja kuinka hinnoittelumallin kehittämistä kannattaa edelleen jatkaa.

Revenue Logic inSoftware Business Context

Tutkimuksen tavoitteena oli selvittää ohjelmistotoimialan avaintekijöitä, jotka vaikuttavat yrityksen ansaintalogiikkaan sekä lisätä tietoisuutta ansaintalogiikan muodostumisesta pienissä ja keskisuurissa ohjelmistoyrityksissä. Tutkimuksen teoreettisessa osassa keskityttiin tarkastelemaan ansaintalogiikan, strategian ja liiketoimintamallin käsitteiden suhteita sekä arvioitiin toimialan osatekijöiden, hinnoitteluperiaatteiden ja ansaintamallien vaikutusta ansainnan muodostumiseen ohjelmistotoimialalla. Ohjelmistotuote ja - palveluliiketoimintaa koskien oli merkityksellistä tutkia tuotteistamisasteen ja arvoketjujen vaikutusta ansaintalogiikan muodostumisessa sekä esitellä erilaisia, tyypillisiä ohjelmistotoimialalla käytettäviä hinnoittelumenetelmiä. Työn empiirisessä osassa tarkasteltiin 23 suomalaisen ohjelmistoalan yrityksen ansaintalogiikkaa. Tiedot kerättiin haastatteluin ja analysoitiin laadullisen tutkimuksen keinoin. Tutkimustulokset korostivat ansaintalogiikan 'epämääräisyyttä' terminä mutta osoittivat, että ydinliiketoimintaan keskittyminen, tuote-, palvelu-, tai projektiliiketoiminnan osaaminen, tuotteistusaste ja kanavavalinnat ovat avaintekijöitä ansaintalogiikanmuodostumisessa. Ansaintalogiikan muodostamiseen liittyy paljon yrityksen sisäisiä ja ulkoisia haasteita sekä muutospaineita, eikä ohjelmistotoimialalla ole todennettavissa yhtä yleismaailmallista, menestyksen takaavaa ansaintalogiikkaa.

A Topological Approach to Fuzzy Sets

This thesis presents a topological approach to studying fuzzy setsby means of modifier operators. Modifier operators are mathematical models, e.g., for hedges, and we present briefly different approaches to studying modifier operators. We are interested in compositional modifier operators, modifiers for short, and these modifiers depend on binary relations. We show that if a modifier depends on a reflexive and transitive binary relation on U, then there exists a unique topology on U such that this modifier is the closure operator in that topology. Also, if U is finite then there exists a lattice isomorphism between the class of all reflexive and transitive relations and the class of all topologies on U. We define topological similarity relation "≈" between L-fuzzy sets in an universe U, and show that the class LU/ ≈ is isomorphic with the class of all topologies on U, if U is finite and L is suitable. We consider finite bitopological spaces as approximation spaces, and we show that lower and upper approximations can be computed by means of α-level sets also in the case of equivalence relations. This means that approximations in the sense of Rough Set Theory can be computed by means of α-level sets. Finally, we present and application to data analysis: we study an approach to detecting dependencies of attributes in data base-like systems, called information systems.

Selective catalytic reduction of nitrogen oxides with ammonia in forced unsteady state reactors - Case based reasoning and mathematical model simulation reasoning

The application of forced unsteady-state reactors in case of selective catalytic reduction of nitrogen oxides (NOx) with ammonia (NH3) is sustained by the fact that favorable temperature and composition distributions which cannot be achieved in any steady-state regime can be obtained by means of unsteady-state operations. In a normal way of operation the low exothermicity of the selective catalytic reduction (SCR) reaction (usually carried out in the range of 280-350°C) is not enough to maintain by itself the chemical reaction. A normal mode of operation usually requires supply of supplementary heat increasing in this way the overall process operation cost. Through forced unsteady-state operation, the main advantage that can be obtained when exothermic reactions take place is the possibility of trapping, beside the ammonia, the moving heat wave inside the catalytic bed. The unsteady state-operation enables the exploitation of the thermal storage capacity of the catalyticbed. The catalytic bed acts as a regenerative heat exchanger allowing auto-thermal behaviour when the adiabatic temperature rise is low. Finding the optimum reactor configuration, employing the most suitable operation model and identifying the reactor behavior are highly important steps in order to configure a proper device for industrial applications. The Reverse Flow Reactor (RFR) - a forced unsteady state reactor - corresponds to the above mentioned characteristics and may be employed as an efficient device for the treatment of dilute pollutant mixtures. As a main disadvantage, beside its advantages, the RFR presents the 'wash out' phenomena. This phenomenon represents emissions of unconverted reactants at every switch of the flow direction. As a consequence our attention was focused on finding an alternative reactor configuration for RFR which is not affected by the incontrollable emissions of unconverted reactants. In this respect the Reactor Network (RN) was investigated. Its configuration consists of several reactors connected in a closed sequence, simulating a moving bed by changing the reactants feeding position. In the RN the flow direction is maintained in the same way ensuring uniformcatalyst exploitation and in the same time the 'wash out' phenomena is annulated. The simulated moving bed (SMB) can operate in transient mode giving practically constant exit concentration and high conversion levels. The main advantage of the reactor network operation is emphasizedby the possibility to obtain auto-thermal behavior with nearly uniformcatalyst utilization. However, the reactor network presents only a small range of switching times which allow to reach and to maintain an ignited state. Even so a proper study of the complex behavior of the RN may give the necessary information to overcome all the difficulties that can appear in the RN operation. The unsteady-state reactors complexity arises from the fact that these reactor types are characterized by short contact times and complex interaction between heat and mass transportphenomena. Such complex interactions can give rise to a remarkable complex dynamic behavior characterized by a set of spatial-temporal patterns, chaotic changes in concentration and traveling waves of heat or chemical reactivity. The main efforts of the current research studies concern the improvement of contact modalities between reactants, the possibility of thermal wave storage inside the reactor and the improvement of the kinetic activity of the catalyst used. Paying attention to the above mentioned aspects is important when higher activity even at low feeding temperatures and low emissions of unconverted reactants are the main operation concerns. Also, the prediction of the reactor pseudo or steady-state performance (regarding the conversion, selectivity and thermal behavior) and the dynamicreactor response during exploitation are important aspects in finding the optimal control strategy for the forced unsteady state catalytic tubular reactors. The design of an adapted reactor requires knowledge about the influence of its operating conditions on the overall process performance and a precise evaluation of the operating parameters rage for which a sustained dynamic behavior is obtained. An apriori estimation of the system parameters result in diminution of the computational efforts. Usually the convergence of unsteady state reactor systems requires integration over hundreds of cycles depending on the initial guess of the parameter values. The investigation of various operation models and thermal transfer strategies give reliable means to obtain recuperative and regenerative devices which are capable to maintain an auto-thermal behavior in case of low exothermic reactions. In the present research work a gradual analysis of the SCR of NOx with ammonia process in forced unsteady-state reactors was realized. The investigation covers the presentationof the general problematic related to the effect of noxious emissions in the environment, the analysis of the suitable catalysts types for the process, the mathematical analysis approach for modeling and finding the system solutions and the experimental investigation of the device found to be more suitable for the present process. In order to gain information about the forced unsteady state reactor design, operation, important system parameters and their values, mathematical description, mathematicalmethod for solving systems of partial differential equations and other specific aspects, in a fast and easy way, and a case based reasoning (CBR) approach has been used. This approach, using the experience of past similarproblems and their adapted solutions, may provide a method for gaining informations and solutions for new problems related to the forced unsteady state reactors technology. As a consequence a CBR system was implemented and a corresponding tool was developed. Further on, grooving up the hypothesis of isothermal operation, the investigation by means of numerical simulation of the feasibility of the SCR of NOx with ammonia in the RFRand in the RN with variable feeding position was realized. The hypothesis of non-isothermal operation was taken into account because in our opinion ifa commercial catalyst is considered, is not possible to modify the chemical activity and its adsorptive capacity to improve the operation butis possible to change the operation regime. In order to identify the most suitable device for the unsteady state reduction of NOx with ammonia, considering the perspective of recuperative and regenerative devices, a comparative analysis of the above mentioned two devices performance was realized. The assumption of isothermal conditions in the beginningof the forced unsteadystate investigation allowed the simplification of the analysis enabling to focus on the impact of the conditions and mode of operation on the dynamic features caused by the trapping of one reactant in the reactor, without considering the impact of thermal effect on overall reactor performance. The non-isothermal system approach has been investigated in order to point out the important influence of the thermal effect on overall reactor performance, studying the possibility of RFR and RN utilization as recuperative and regenerative devices and the possibility of achieving a sustained auto-thermal behavior in case of lowexothermic reaction of SCR of NOx with ammonia and low temperature gasfeeding. Beside the influence of the thermal effect, the influence of the principal operating parameters, as switching time, inlet flow rate and initial catalyst temperature have been stressed. This analysis is important not only because it allows a comparison between the two devices and optimisation of the operation, but also the switching time is the main operating parameter. An appropriate choice of this parameter enables the fulfilment of the process constraints. The level of the conversions achieved, the more uniform temperature profiles, the uniformity ofcatalyst exploitation and the much simpler mode of operation imposed the RN as a much more suitable device for SCR of NOx with ammonia, in usual operation and also in the perspective of control strategy implementation. Theoretical simplified models have also been proposed in order to describe the forced unsteady state reactors performance and to estimate their internal temperature and concentration profiles. The general idea was to extend the study of catalytic reactor dynamics taking into account the perspectives that haven't been analyzed yet. The experimental investigation ofRN revealed a good agreement between the data obtained by model simulation and the ones obtained experimentally.

Polttoaineen reaktiivisuuden määrittäminen kiertoleijupoltossa

Kehitettäessä leijupolttotekniikkaa entistä ympäristöystävällisemmäksi ja tehokkaammaksi tarvitaan lisää tietoa polttoaineen käyttäytymisestä tulipesässä. Polttoaineen palamisprofiili ja reaktiivisuus vaikuttavat oleellisesti esimerkiksi voimalaitoskattilan lämmönsiirtopintojen sijoitteluun ja suunnitteluun sekä ohjausjärjestelmän toteutukseen. Varsinkin monipolttoainekattiloilla ohjausjärjestelmän toimivuus joutuu koetukselle esimerkiksi kuormanmuutostilanteissa ja äkillisissä polttoaineen syöttöhäiriöissä. Tässä työssä on aluksi tutustuttu kiertoleijupolton ilmiöihin ja niiden matemaattiseen mallintamiseen. Lisäksi esitetään katsaus eri prosessiolosuhteiden vaikutuksesta palamiseen kiertoleijuolosuhteissa. Työn tutkimusosassa kehitettiin menetelmä polttoaineen reaktiivisuuden määrittämiseksi kiertoleijupoltossa. Kehitetty menetelmä koostuu koesarjasta ja matemaattisesta simulointimallista. Koetoiminta suoritettiin VTT Energian laboratoriokokoluokan kiertoleijukoelaitteella. Koesarja polttoaineen reaktiivisuuden määrittämiseksi sisältää eri kaasukomponenttien profiilimittauksia ja dynaamisia muutoskokeita. Menetelmän avulla voidaan tutkia eri polttoaineiden reaktiivisuuksia sekä polttoaineen reaktiivisuuden ja tietyn prosessiolosuhteen välistä riippuvuutta. Suorittamalla koeajomatriisin mukaiset kokeet tietyissä prosessiolosuhteissa voidaan polttoaineen reaktiivisuus selvittää koetulosten ja simulointimallin perusteella.