Sanojen jaksot ja reunattomat tekijät. Ehrenfeuchtin—Silbergerin ongelma.

Ehrenfeuchtin–Silbergerin ongelma kysyy, kuinka pitkä sana voi olla sen pisimpien reunattomien tekijöiden pituuden suhteen, ennen kuin sillä on sen lyhimmän jakson pituinen reunaton tekijä. Ongelman ratkaisu on sanan pisimpien reunattomien tekijöiden pituudesta riippuva raja, jolle kaikilla ainakin tämän pituisilla sanoilla on välttämättä lyhimmän jakson pituinen reunaton tekijä. Tutkielmassa esitellään tämän ongelman paras tunnettu ratkaisu. Lisäksi tarkastellaan muita ongelmaan läheisesti liittyviä tuloksia. Päälauseena todistetaan paras tunnettu raja pisimpien reunattomien tekijöiden suhteen. Todistus on peräisin Štěpán Holubin ja Dirk Nowotkan artikkelista The Ehrenfeucht–Silberger problem (Journal of Combinatorial Theory, Series A) sekä tämän artikkelin alustavasta versiosta ICALP 2009 -konferenssin proceedings-julkaisussa. Esitetty ratkaisu näytetään vakiotermiä vaille optimaaliseksi vertaamalla sitä parhaaseen tunnettuun esimerkkiin äärettömästä sanajoukosta, jonka jokaisen sanan pisimmät reunattomat tekijät ovat lyhyempiä kuin lyhin jakso ja jonka jokaisen sanan pituus pisimpien reunattomien tekijöiden pituuden suhteen on suurin tunnettu. Johdatteluna esitellään perustuloksia sanan jaksoista ja reunattomista tekijöistä sekä esitellään eräitä muita ehtoja sille, milloin sanalla on sen lyhimmän jakson pituinen reunaton tekijä. Toisaalta tarkastellaan myös ongelmaa, joka kysyy vastaavaa rajaa lyhimmän jakson suhteen. Uutena tuloksena parannetaan parasta aiemmin tunnettua rajaa yhtä pienemmäksi, jolloin saatu raja on optimaalinen. Lisäksi todistetaan, mitä muotoa ovat kaikki sanat, joilla ei ole lyhimmän jaksonsa pituista reunatonta tekijää ja jotka ovat lyhimmän jaksonsa suhteen mahdollisimman pitkiä. Lisäksi tarkastellaan kriittistä tekijöihinjakoa, joka liittää sanan lyhimmän jakson sen paikallisiin jaksoihin. Kriittisen tekijöihinjaon lauseesta esitetään eräs todistus. Tämän lisäksi todistetaan päälauseen todistuksessa tarvittava lemma, joka liittyy sanan konjugaatin tekijöihinjaon kriittisyyteen.

Sanojen jaksot ja reunattomat tekijät. Ehrenfeuchtin—Silbergerin ongelma

Ehrenfeuchtin–Silbergerin ongelma kysyy, kuinka pitkä sana voi olla sen pisimpien reunattomien tekijöiden pituuden suhteen, ennen kuin sillä on sen lyhimmän jakson pituinen reunaton tekijä. Ongelman ratkaisu on sanan pisimpien reunattomien tekijöiden pituudesta riippuva raja, jolle kaikilla ainakin tämän pituisilla sanoilla on välttämättä lyhimmän jakson pituinen reunaton tekijä. Tutkielmassa esitellään tämän ongelman paras tunnettu ratkaisu. Lisäksi tarkastellaan muita ongelmaan läheisesti liittyviä tuloksia. Päälauseena todistetaan paras tunnettu raja pisimpien reunattomien tekijöiden suhteen. Todistus on peräisin Štěpán Holubin ja Dirk Nowotkan artikkelista The Ehrenfeucht–Silberger problem (Journal of Combinatorial Theory, Series A) sekä tämän artikkelin alustavasta versiosta ICALP 2009 -konferenssin proceedings-julkaisussa. Esitetty ratkaisu näytetään vakiotermiä vaille optimaaliseksi vertaamalla sitä parhaaseen tunnettuun esimerkkiin äärettömästä sanajoukosta, jonka jokaisen sanan pisimmät reunattomat tekijät ovat lyhyempiä kuin lyhin jakso ja jonka jokaisen sanan pituus pisimpien reunattomien tekijöiden pituuden suhteen on suurin tunnettu. Johdatteluna esitellään perustuloksia sanan jaksoista ja reunattomista tekijöistä sekä esitellään eräitä muita ehtoja sille, milloin sanalla on sen lyhimmän jakson pituinen reunaton tekijä. Toisaalta tarkastellaan myös ongelmaa, joka kysyy vastaavaa rajaa lyhimmän jakson suhteen. Uutena tuloksena parannetaan parasta aiemmin tunnettua rajaa yhtä pienemmäksi, jolloin saatu raja on optimaalinen. Lisäksi todistetaan, mitä muotoa ovat kaikki sanat, joilla ei ole lyhimmän jaksonsa pituista reunatonta tekijää ja jotka ovat lyhimmän jaksonsa suhteen mahdollisimman pitkiä. Lisäksi tarkastellaan kriittistä tekijöihinjakoa, joka liittää sanan lyhimmän jakson sen paikallisiin jaksoihin. Kriittisen tekijöihinjaon lauseesta esitetään eräs todistus. Tämän lisäksi todistetaan päälauseen todistuksessa tarvittava lemma, joka liittyy sanan konjugaatin tekijöihinjaon kriittisyyteen.