Quasiconformal mappings and inequalities involving special functions

This PhD thesis in Mathematics belongs to the field of Geometric Function Theory. The thesis consists of four original papers. The topic studied deals with quasiconformal mappings and their distortion theory in Euclidean n-dimensional spaces. This theory has its roots in the pioneering papers of F. W. Gehring and J. Väisälä published in the early 1960’s and it has been studied by many mathematicians thereafter. In the first paper we refine the known bounds for the so-called Mori constant and also estimate the distortion in the hyperbolic metric. The second paper deals with radial functions which are simple examples of quasiconformal mappings. These radial functions lead us to the study of the so-called p-angular distance which has been studied recently e.g. by L. Maligranda and S. Dragomir. In the third paper we study a class of functions of a real variable studied by P. Lindqvist in an influential paper. This leads one to study parametrized analogues of classical trigonometric and hyperbolic functions which for the parameter value p = 2 coincide with the classical functions. Gaussian hypergeometric functions have an important role in the study of these special functions. Several new inequalities and identities involving p-analogues of these functions are also given. In the fourth paper we study the generalized complete elliptic integrals, modular functions and some related functions. We find the upper and lower bounds of these functions, and those bounds are given in a simple form. This theory has a long history which goes back two centuries and includes names such as A. M. Legendre, C. Jacobi, C. F. Gauss. Modular functions also occur in the study of quasiconformal mappings. Conformal invariants, such as the modulus of a curve family, are often applied in quasiconformal mapping theory. The invariants can be sometimes expressed in terms of special conformal mappings. This fact explains why special functions often occur in this theory.

TR(i)P, TR(i)P, hooray : new functions for TRPC2 and TRPC3

Kalciumjonen påverkar många aspekter av cellbiologi, från fertiliseringen av äggcellen till tillväxt och differentiering av alla typer av celler. Störningar i hur kalciumjonerna transporteras in och friges i cellerna kan ha stor betydelse för hur sjukdomar framskrider. På grund av detta är det viktigt att studera hur kalciumtransportörer såsom kalciumkanaler fungerar och hur de påverkar cellernas funktioner. I avhandlingen har klassiska transient receptorpotential (TRPC) katjonkanaler studerats. Dessa kanaler är permeabla för kalcium och aktiveras nedströms av G-proteinkopplade receptorer. Resultaten som presenteras i avhandlingen visar på nya funktioner för TRPC2- och TRPC3-kanalerna. Utöver TRPC3-kanalens roll i plasmamembranen, där den medverkar i receptorreglerat kalciuminflöde, tyder våra resultat på att TRPC3 har en potentiell intracellulär roll. Vid överuttryck av kanalen lokaliserade kanalen till endoplasmatiska nätverket där kanalen friger intracellulärt kalcium. TRPC2 har en viktig funktion i möss där kanalen reglerar hur djuret reagerar på feromoner. Våra resultat tyder på att TRPC2 är involverad i autokrin sfingosin-1-fosfat (S1P)-signalering. S1P som produceras i cellerna transporterades ut från cellerna varpå det aktiverade S1P2-receptorer på plasmamembranen. Diacylglycerol som bildas som en följd av aktivering av S1P2-receptorn aktiverade i sin tur inflöde av extracellulärt kalcium. Våra resultat indikerar att TRPC2 är kanalen som förmedlar detta kalciuminflöde. I sköldkörtelceller studerades nedströms effekter för TRPC2. Kanalen reglerade negativt cAMP-produktionen i cellerna vilket hämmar extracellulärt signalreglerat kinas 1/2 (ERK1/2). När uttrycket för TRPC2 minskades i cellerna, ökades produktionen av cAMP och fosforyleringen av ERK1/2, vilket resulterade i ökat uttryck för receptorn för sköldkörtelstimulerande hormon. Slutligen, presenterar vi resultat som tyder på att TRPC2 är viktigt för sekretion av prekursorn till sköldkörtelhormon.