Analysis of a finite volume element method for the Stokes problem

In this paper we propose a stabilized conforming finite volume element method for the Stokes equations. On stating the convergence of the method, optimal a priori error estimates in different norms are obtained by establishing the adequate connection between the finite volume and stabilized finite element formulations. A superconvergence result is also derived by using a postprocessing projection method. In particular, the stabilization of the continuous lowest equal order pair finite volume element discretization is achieved by enriching the velocity space with local functions that do not necessarily vanish on the element boundaries. Finally, some numerical experiments that confirm the predicted behavior of the method are provided.

Méthodologie intégrée de microgravimétrie en milieu urbain : test d'application au génie civil sur le métro M2 de Lausanne

RESUME Dès le printemps 2004, la construction d'une 2ème ligne de métro est entreprise dans la ville de Lausanne en Suisse. En reliant Ouchy, au bord du lac Léman (alt. 373 m) à Epalinges (alt. 711 m), le nouveau métro "M2" traversera dès 2008 l'agglomération lausannoise du Sud au Nord sur une distance de 6 km. Depuis l'avant-projet, en 1999, une grande quantité de données géologiques a été récolté et de nombreux forages exécutés sur le site. Ceci nous a donné une occasion unique d'entreprendre une étude de microgravimétrique urbaine de détail. Le mode de creusement du tunnel dépend fortement des matériaux à excaver et il est classiquement du domaine du géologue, avec ses connaissances de la géologie régionale et de la stratigraphie des forages, de fournir à l'ingénieur un modèle géologique. Ce modèle indiquera dans ce cas l'épaisseur des terrains meubles qui recouvrent le soubassement rocheux. La représentativité spatiale d'une information très localisée, comme celle d'un forage, est d'autant plus compliquée que le détail recherché est petit. C'est à ce moment là que la prospection géophysique, plus spécialement gravimétrique, peut apporter des informations complémentaires déterminantes pour régionaliser les données ponctuelles des forages. La microgravimétrie en milieu urbain implique de corriger avec soin les perturbations gravifiques sur la mesure de la pesanteur dues aux effets de la topographie, des bâtiments et des caves afin d'isoler l'effet gravifique dû exclusivement à l'épaisseur du remplissage des terrains meubles. Tenant compte de l'intensité des corrections topographiques en milieu urbain, nous avons donné une grande importance aux sous-sols, leurs effets gravifiques pouvant atteindre l'ordre du dixième de mGal. Nous avons donc intégré ces corrections celle de topographie et traité les effets des bâtiments de manière indépendante. Nous avons inclus dans le modèle numérique de terrain (MNT) la chaussée et les sous-sols afin de construire un modèle numérique de terrain urbain. Nous utiliserons un nouvel acronyme « MNTU »pour décrire ce modèle. Nous proposons d'établir des cartes de corrections topographiques préalables, basées sur les données à disposition fournies par le cadastre en faisant des hypothèses sur la profondeur des sous-sols et la hauteur des bâtiments. Les deux zones de test choisies sont caractéristiques des différents types d'urbanisation présente à Lausanne et se révèlent par conséquent très intéressantes pour élaborer une méthodologie globale de la microgravimétrie urbaine. Le but était d'évaluer l'épaisseur du remplissage morainique sur un fond rocheux molassique se situant à une profondeur variable de quelques mètres à une trentaine de mètres et d'en établir une coupe dans l'axe du futur tracé du métro. Les résultats des modélisations se sont révélés très convaincants en détectant des zones qui diffèrent sensiblement du modèle géologique d'avant projet. Nous avons également démontré que l'application de cette méthode géophysique, non destructive, est à même de limiter le nombre de sondages mécaniques lors de l'avant-projet et du projet définitif, ce qui peut limiter à la fois les coûts et le dérangement engendré par ces travaux de surface. L'adaptabilité de la technique gravimétrique permet d'intervenir dans toutes les différentes phases d'un projet de génie civil comme celui de la construction d'un métro en souterrain. KURZFASSUNG Seit dem Frühling 2004 ist in der Stadt Lausanne (Schweiz) die neue U-Bahn "M2" in Konstruktion. Diese soll auf 6 km Länge die Lausanner Agglomeration von Süd nach Nord durchqueren. Die dem Projekt zu Grunde liegende technische Planung sieht vor, daß die Bahnlinie hauptsächlich in der Molasse angesiedelt sein wird. Seit dem Vorentwurf (1999) ist eine große Anzahl geologischer Angaben gesammelt worden. Daraus ergab sich die einmalige Gelegenheit, die Informationen aus den damit verbundenen zahlreichen Bohrungen zu einer detaillierten mikrogravimetrischen Studie der Stadt Lausanne zu erweitern und zu vervollständigen. Das Ziel bestand darin, die Mächtigkeit der die Molasseüberdeckenden Moräneablagerung abzuschätzen, um eine entsprechendes geologisches Profile entlang der künftigen Bahnlinie zu erstellen. Weiterhin sollte gezeigt werden, daß die Anwendung dieser nicht-invasiven geophysikalischen Methode es ermöglicht, die Anzahl der benötigten Bohrungen sowohl in der Pilotphase wie auch im endgültigen Projekt zu reduzieren, was zu wesentlichen finanziellen Einsparungen in der Ausführung des Werkes beitragen würde. Die beiden in dieser Studie bearbeiteten Testzonen befinden sich im Nordteil und im Stadtzentrum von Lausanne und sind durch eine unterschiedliche Urbanisierung charakterisiert. Das anstehende Gestein liegt in verschiedenen Tiefen: von einigen Metern bis zu etwa dreißig Metern. Diese Zonen weisen alle Schwierigkeiten einer urbanen Bebauung mit hoher Verkehrsdichte auf und waren daher massgebend bei der Ausarbeitung einer globalen mikrogravimetrischen Methodologie für die Stadt Lausanne. Die so entwickelte Technik ermöglicht, die störenden Auswirkungen der Topographie, der Gebäude, der Keller und der Öffentlichen Infrastrukturen sorgfältig zu korrigieren, um so die ausschließlich auf die Mächtigkeit des Lockergesteins zurückzuführenden Effekte zu isolieren. In Bezug auf die Intensität der Auswirkungen der topographischen Korrekturen im Stadtgebiet wurde den Untergeschossen eine besonders grosse Bedeutung zugemessen da die entsprechenden Schwerkrafteffekte eine Grösse von rund einem Zehntel mGal erreichen können. Wir schlagen deshalb vor, vorläufige Karten der topographischen Korrekturen zu erstellen. Diese Korrekturen basieren auf den uns vom Katasterplan gelieferten Daten und einigen Hypothesen bezüglich der Tiefe der Untergeschosse und der Höhe der Gebäude. Die Verfügbarkeit einer derartigen Karte vor der eigentlichen gravimetrischen Messkampagne würde uns erlauben, die Position der Meßstationen besser zu wählen. Wir sahen zudem, daß ein entsprechenden a priori Filter benutzt werden kann, wenn die Form und die Intensität der Anomalie offensichtlich dem entsprechenden Gebäude zugeordnet werden können. Diese Strategie muß jedoch mit Vorsicht angewandt werden, denn falls weitere Anomalien dazukommen, können bedeutende Verschiebungen durch Übèrlagerungen der Schwerewirkung verschiedener Strukturen entstehen. Die Ergebnisse der Modellierung haben sich als sehr überzeugend erwiesen, da sie im Voraus unbekannte sensible Zonen korrekt identifiziert haben. Die Anwendbarkeit der in dieser Arbeit entwickelten gravimetrischen Technik ermöglicht es, während allen Phasen eines Grossbauprojekts, wie zum Beispiel bei der Konstruktion einer unterirdischen U-Bahn, einzugreifen. ABSTRACT Since Spring of 2004 a new metro line has been under construction in the city of Lausanne in Switzerland. The new line, the M2, will be 6 km long and will traverse the city from south to north. The civil engineering project determined that the line would be located primarily in the Molasse. Since the preparatory project in 1999, a great quantity of geological data has been collected, and the many drillings made on the site have proved to be a unique opportunity to undertake a study of urban microgravimetry. The goal was to evaluate the thickness of the morainic filling over the molassic bedrock, and to establish a section along the axis of the future line. It then had to be shown that the application of this nondestructive geophysical method could reduce the number of mechanical surveys required both for a preparatory and a definitive project, which would lead to real savings in the realization of a civil engineering project. The two test zones chosen, one in the northern part of the city and one in the city centre, are characterised by various types of urbanisation. Bedrock is at a depth varying from a few metres to about thirty metres. These zones well exemplify the various difficulties encountered in an urban environment and are therefore very interesting for the development of an overall methodology of urban microgravimetry. Microgravimetry in an urban environment requires careful corrections for gravific disturbances due to the effects of topography, buildings, cellars, and the infrastructure of distribution networks, in order to isolate the gravific effect due exclusively to the thickness of loose soil filling. Bearing in mind the intensity of the topographic corrections in an urban environment, we gave particular importance to basements. Their gravific effects can reach the order of one tenth of one meal, and can influence above all the precision of the Bouguer anomaly. We propose to establish preliminary topographic correction charts based on data provided to us by the land register, by making assumptions on the depths of basements and the heights of buildings. Availability of this chart previous to a gravimetry campaign would enable us to choose optimum measuring sites. We have also seen that an a priori filter can be used when the form and the intensity of the anomaly correspond visually to the corresponding building. This strategy must be used with caution because if other anomalies are to be associated, important shifts can be generated by the superposition of the effects of different structures. The results of the model have proved to be very convincing in detecting previously unknown sensitive zones. The adaptability of the gravimetry technique allows for application in all phases of a civil engineering project such as the construction of an underground metro line. RIASSUNTO Dalla primavera 2004 una nuova linea metropolitana é in costruzione nella città di Losanna in Svizzera. La nuova metropolitana "M2" traverserà per la lunghezza di 6 km il centro urbano di Losanna da sud a nord. II progetto d'ingegneria civile prevedeva un tracciato situato essenzialmente nel fondo roccioso arenaceo terziario (molassa). Dalla redazione del progetto preliminare, avvenuta nel 1999, una grande quantità di dati geologici sono stati raccolti e sono stati eseguiti numerosi sondaggi. Questo sì é presentato come un'occasione unica per mettere a punto uno studio microgravimetrico in ambiente urbano con lo scopo di valutare lo spessore dei terreni sciolti di origine glaciale che ricoprono il fondo roccioso di molassa e di mettere in evidenza come l'applicazione di questo metodo geofisico non distruttivo possa limitare il numero di sondaggi meccanici nella fase di progetto preliminare ed esecutivo con conseguente reale risparmio economico nella realizzazione di una tale opera. Le due zone di test sono situate una nella zona nord e la seconda nel centro storico di Losanna e sono caratterizzate da stili architettonici differenti. II fondo roccioso é situato ad una profondità variabile da qualche metro ad una trentina. Queste due zone sembrano ben rappresentare tutte le difficoltà di un ambiente urbano e ben si prestano per elaborare una metodologia globale per la microgravimetria in ambiente urbano. L'applicazione di questa tecnica nell'ambiente suddetto implica la correzione attenta delle perturbazioni sulla misura dell'accelerazione gravitazionale, causate dalla topografia, gli edifici, le cantine e le infrastrutture dei sottoservizi, per ben isolare il segnale esclusivamente causato dallo spessore dei terreni sciolti. Tenuto conto, dell'intensità delle correzioni topografiche, abbiamo dato grande importanza alle cantine, poiché il loro effetto sulle misure può raggiungere il decimo di mGal. Proponiamo quindi di redigere una carta delle correzioni topografiche preliminare all'acquisizione, facendo delle ipotesi sulla profondità delle cantine e sull'altezza degli edifici, sulla base delle planimetrie catastali. L'analisi di questa carta permetterà di scegliere le posizioni più adatte per le stazioni gravimetriche. Abbiamo anche osservato che un filtro a priori, qualora la forma e l'intensità dell'anomalia fosse facilmente riconducibile in maniera visuale ad un edificio, possa essere efficace. Tuttavia questa strategia deve essere utilizzata con precauzione, poiché può introdurre uno scarto, qualora più anomalie, dovute a differenti strutture, si sovrappongano. I risultati delle modellizzazioni si sono rivelati convincenti, evidenziando zone sensibili non conosciute preventivamente. L'adattabilità della tecnica gravimetrica ha mostrato di poter intervenire in differenti fasi di un progetto di ingegneria civile, quale è quella di un'opera in sotterraneo.

Three-dimensional hydrodynamic numerical modelling of fold nappe formation, basement-cover deformation and slab detachment with applications to the helvetic nappe system (W Switzerland)

Many three-dimensional (3-D) structures in rock, which formed during the deformation of the Earth's crust and lithosphere, are controlled by a difference in mechanical strength between rock units and are often the result of a geometrical instability. Such structures are, for example, folds, pinch-and-swell structures (due to necking) or cuspate-lobate structures (mullions). These struc-tures occur from the centimeter to the kilometer scale and the related deformation processes con-trol the formation of, for example, fold-and-thrust belts and extensional sedimentary basins or the deformation of the basement-cover interface. The 2-D deformation processes causing these structures are relatively well studied, however, several processes during large-strain 3-D defor-mation are still incompletely understood. One of these 3-D processes is the lateral propagation of these structures, such as fold and cusp propagation in a direction orthogonal to the shortening direction or neck propagation in direction orthogonal to the extension direction. Especially, we are interested in fold nappes which are recumbent folds with amplitudes usually exceeding 10 km and they have been presumably formed by ductile shearing. They often exhibit a constant sense of shearing and a non-linear increase of shear strain towards their overturned limb. The fold axes of the Morcles fold nappe in western Switzerland plunges to the ENE whereas the fold axes in the more eastern Doldenhorn nappe plunges to the WSW. These opposite plunge direc-tions characterize the Rawil depression (Wildstrubel depression). The Morcles nappe is mainly the result of layer parallel contraction and shearing. During the compression the massive lime-stones were more competent than the surrounding marls and shales, which led to the buckling characteristics of the Morcles nappe, especially in the north-dipping normal limb. The Dolden-horn nappe exhibits only a minor overturned fold limb. There are still no 3-D numerical studies which investigate the fundamental dynamics of the formation of the large-scale 3-D structure including the Morcles and Doldenhorn nappes and the related Rawil depression. We study the 3-D evolution of geometrical instabilities and fold nappe formation with numerical simulations based on the finite element method (FEM). Simulating geometrical instabilities caused by sharp variations of mechanical strength between rock units requires a numerical algorithm that can accurately resolve material interfaces for large differences in material properties (e.g. between limestone and shale) and for large deformations. Therefore, our FE algorithm combines a nu-merical contour-line technique and a deformable Lagrangian mesh with re-meshing. With this combined method it is possible to accurately follow the initial material contours with the FE mesh and to accurately resolve the geometrical instabilities. The algorithm can simulate 3-D de-formation for a visco-elastic rheology. The viscous rheology is described by a power-law flow law. The code is used to study the 3-D fold nappe formation, the lateral propagation of folding and also the lateral propagation of cusps due to initial half graben geometry. Thereby, the small initial geometrical perturbations for folding and necking are exactly followed by the FE mesh, whereas the initial large perturbation describing a half graben is defined by a contour line inter-secting the finite elements. Further, the 3-D algorithm is applied to 3-D viscous nacking during slab detachment. The results from various simulations are compared with 2-D resulats and a 1-D analytical solution. -- On retrouve beaucoup de structures en 3 dimensions (3-D) dans les roches qui ont pour origines une déformation de la lithosphère terrestre. Ces structures sont par exemple des plis, des boudins (pinch-and-swell) ou des mullions (cuspate-lobate) et sont présentés de l'échelle centimétrique à kilométrique. Mécaniquement, ces structures peuvent être expliquées par une différence de résistance entre les différentes unités de roches et sont généralement le fruit d'une instabilité géométrique. Ces différences mécaniques entre les unités contrôlent non seulement les types de structures rencontrées, mais également le type de déformation (thick skin, thin skin) et le style tectonique (bassin d'avant pays, chaîne d'avant pays). Les processus de la déformation en deux dimensions (2-D) formant ces structures sont relativement bien compris. Cependant, lorsque l'on ajoute la troisiéme dimension, plusieurs processus ne sont pas complètement compris lors de la déformation à large échelle. L'un de ces processus est la propagation latérale des structures, par exemple la propagation de plis ou de mullions dans la direction perpendiculaire à l'axe de com-pression, ou la propagation des zones d'amincissement des boudins perpendiculairement à la direction d'extension. Nous sommes particulièrement intéressés les nappes de plis qui sont des nappes de charriage en forme de plis couché d'une amplitude plurikilométrique et étant formées par cisaillement ductile. La plupart du temps, elles exposent un sens de cisaillement constant et une augmentation non linéaire de la déformation vers la base du flanc inverse. Un exemple connu de nappes de plis est le domaine Helvétique dans les Alpes de l'ouest. Une de ces nap-pes est la Nappe de Morcles dont l'axe de pli plonge E-NE tandis que de l'autre côté de la dépression du Rawil (ou dépression du Wildstrubel), la nappe du Doldenhorn (équivalent de la nappe de Morcles) possède un axe de pli plongeant O-SO. La forme particulière de ces nappes est due à l'alternance de couches calcaires mécaniquement résistantes et de couches mécanique-ment faibles constituées de schistes et de marnes. Ces différences mécaniques dans les couches permettent d'expliquer les plissements internes à la nappe, particulièrement dans le flanc inver-se de la nappe de Morcles. Il faut également noter que le développement du flanc inverse des nappes n'est pas le même des deux côtés de la dépression de Rawil. Ainsi la nappe de Morcles possède un important flanc inverse alors que la nappe du Doldenhorn en est presque dépour-vue. A l'heure actuelle, aucune étude numérique en 3-D n'a été menée afin de comprendre la dynamique fondamentale de la formation des nappes de Morcles et du Doldenhorn ainsi que la formation de la dépression de Rawil. Ce travail propose la première analyse de l'évolution 3-D des instabilités géométriques et de la formation des nappes de plis en utilisant des simulations numériques. Notre modèle est basé sur la méthode des éléments finis (FEM) qui permet de ré-soudre avec précision les interfaces entre deux matériaux ayant des propriétés mécaniques très différentes (par exemple entre les couches calcaires et les couches marneuses). De plus nous utilisons un maillage lagrangien déformable avec une fonction de re-meshing (production d'un nouveau maillage). Grâce à cette méthode combinée il nous est possible de suivre avec précisi-on les interfaces matérielles et de résoudre avec précision les instabilités géométriques lors de la déformation de matériaux visco-élastiques décrit par une rhéologie non linéaire (n>1). Nous uti-lisons cet algorithme afin de comprendre la formation des nappes de plis, la propagation latérale du plissement ainsi que la propagation latérale des structures de type mullions causé par une va-riation latérale de la géométrie (p.ex graben). De plus l'algorithme est utilisé pour comprendre la dynamique 3-D de l'amincissement visqueux et de la rupture de la plaque descendante en zone de subduction. Les résultats obtenus sont comparés à des modèles 2-D et à la solution analytique 1-D. -- Viele drei dimensionale (3-D) Strukturen, die in Gesteinen vorkommen und durch die Verfor-mung der Erdkruste und Litosphäre entstanden sind werden von den unterschiedlichen mechani-schen Eigenschaften der Gesteinseinheiten kontrolliert und sind häufig das Resulat von geome-trischen Istabilitäten. Zu diesen strukturen zählen zum Beispiel Falten, Pich-and-swell Struktu-ren oder sogenannte Cusbate-Lobate Strukturen (auch Mullions). Diese Strukturen kommen in verschiedenen Grössenordungen vor und können Masse von einigen Zentimeter bis zu einigen Kilometer aufweisen. Die mit der Entstehung dieser Strukturen verbundenen Prozesse kontrol-lieren die Entstehung von Gerbirgen und Sediment-Becken sowie die Verformung des Kontaktes zwischen Grundgebirge und Stedimenten. Die zwei dimensionalen (2-D) Verformungs-Prozesse die zu den genannten Strukturen führen sind bereits sehr gut untersucht. Einige Prozesse wäh-rend starker 3-D Verformung sind hingegen noch unvollständig verstanden. Einer dieser 3-D Prozesse ist die seitliche Fortpflanzung der beschriebenen Strukturen, so wie die seitliche Fort-pflanzung von Falten und Cusbate-Lobate Strukturen senkrecht zur Verkürzungsrichtung und die seitliche Fortpflanzung von Pinch-and-Swell Strukturen othogonal zur Streckungsrichtung. Insbesondere interessieren wir uns für Faltendecken, liegende Falten mit Amplituden von mehr als 10 km. Faltendecken entstehen vermutlich durch duktile Verscherung. Sie zeigen oft einen konstanten Scherungssinn und eine nicht-lineare zunahme der Scherverformung am überkipp-ten Schenkel. Die Faltenachsen der Morcles Decke in der Westschweiz fallen Richtung ONO während die Faltenachsen der östicher gelegenen Doldenhorn Decke gegen WSW einfallen. Diese entgegengesetzten Einfallrichtungen charakterisieren die Rawil Depression (Wildstrubel Depression). Die Morcles Decke ist überwiegend das Resultat von Verkürzung und Scherung parallel zu den Sedimentlagen. Während der Verkürzung verhielt sich der massive Kalkstein kompetenter als der Umliegende Mergel und Schiefer, was zur Verfaltetung Morcles Decke führ-te, vorallem in gegen Norden eifallenden überkippten Schenkel. Die Doldenhorn Decke weist dagegen einen viel kleineren überkippten Schenkel und eine stärkere Lokalisierung der Verfor-mung auf. Bis heute gibt es keine 3-D numerischen Studien, die die fundamentale Dynamik der Entstehung von grossen stark verformten 3-D Strukturen wie den Morcles und Doldenhorn Decken sowie der damit verbudenen Rawil Depression untersuchen. Wir betrachten die 3-D Ent-wicklung von geometrischen Instabilitäten sowie die Entstehung fon Faltendecken mit Hilfe von numerischen Simulationen basiert auf der Finite Elemente Methode (FEM). Die Simulation von geometrischen Instabilitäten, die aufgrund von Änderungen der Materialeigenschaften zwischen verschiedenen Gesteinseinheiten entstehen, erfortert einen numerischen Algorithmus, der in der Lage ist die Materialgrenzen mit starkem Kontrast der Materialeigenschaften (zum Beispiel zwi-schen Kalksteineinheiten und Mergel) für starke Verfomung genau aufzulösen. Um dem gerecht zu werden kombiniert unser FE Algorithmus eine numerische Contour-Linien-Technik und ein deformierbares Lagranges Netz mit Re-meshing. Mit dieser kombinierten Methode ist es mög-lich den anfänglichen Materialgrenzen mit dem FE Netz genau zu folgen und die geometrischen Instabilitäten genügend aufzulösen. Der Algorithmus ist in der Lage visko-elastische 3-D Ver-formung zu rechnen, wobei die viskose Rheologie mit Hilfe eines power-law Fliessgesetzes beschrieben wird. Mit dem numerischen Algorithmus untersuchen wir die Entstehung von 3-D Faltendecken, die seitliche Fortpflanzung der Faltung sowie der Cusbate-Lobate Strukturen die sich durch die Verkürzung eines mit Sediment gefüllten Halbgraben bilden. Dabei werden die anfänglichen geometrischen Instabilitäten der Faltung exakt mit dem FE Netz aufgelöst wäh-rend die Materialgranzen des Halbgrabens die Finiten Elemente durchschneidet. Desweiteren wird der 3-D Algorithmus auf die Einschnürung während der 3-D viskosen Plattenablösung und Subduktion angewandt. Die 3-D Resultate werden mit 2-D Ergebnissen und einer 1-D analyti-schen Lösung verglichen.