The average crossing number of equilateral random polygons.

In this paper, we study the average crossing number of equilateral random walks and polygons. We show that the mean average crossing number ACN of all equilateral random walks of length n is of the form . A similar result holds for equilateral random polygons. These results are confirmed by our numerical studies. Furthermore, our numerical studies indicate that when random polygons of length n are divided into individual knot types, the for each knot type can be described by a function of the form where a, b and c are constants depending on and n0 is the minimal number of segments required to form . The profiles diverge from each other, with more complex knots showing higher than less complex knots. Moreover, the profiles intersect with the ACN profile of all closed walks. These points of intersection define the equilibrium length of , i.e., the chain length at which a statistical ensemble of configurations with given knot type -upon cutting, equilibration and reclosure to a new knot type -does not show a tendency to increase or decrease . This concept of equilibrium length seems to be universal, and applies also to other length-dependent observables for random knots, such as the mean radius of gyration Rg.

Androgen dependence of hirsutism, acne, and alopecia in women : retrospective analysis or 228 patients investigated for hyperandrogenism

RAPPORT DE SYNTHESE : L'hirsutisme, l'acné et l'alopécie chez la femme sont souvent associés à des troubles menstruels et à une production excessive d'androgènes, raison pour laquelle ces symptômes cutanés font l'objet d'évaluation endocrinienne. L'hyperandrogénie affecte 5 à 10 % des femmes en âge de reproduction et constitue un motif fréquent de consultation. Récemment, les sociétés d'endocrinologie ont émis des recommandations sur l'investigation et le traitement de l'hyperandrogénie. Longtemps confrontés à la demande de patientes souffrant d'hirsutisme, d'acné ou d'alopécie, nous avons décidé d'effectuer une approche diagnostique et thérapeutique comportant des dosages hormonaux et un traitement antiandrogénique. Un grand nombre de patientes a été ainsi étudié au fil des années. Les paramètres mesurés incluaient la testostérone plasmatique totale, l'androstènedione, le sulfate de déhydroépiandrostérone (DHEAS), la sex hormone-binding globulin (SHBG) et la testostérone salivaire. Cette dernière est considérée comme un bon reflet de la testostérone libre plasmatique, indépendamment des protéines de liaison. L'analyse rétrospective des dossiers nous a permis de comparer nos données avec celles de la littérature. Des 318 dossiers de patientes ayant consulté notre Service pour hirsutisme, acné ou alopécie pendant 6 ans, 228 ont pu être retenus pour une évaluation adéquate. Chez les patientes présentant ces symptômes de façon isolée, les taux d'androgènes et la prévalence de l'oligo-aménorhée étaient plus élevés en cas d'hirsutisme qu'en cas d'alopécie, avec des valeurs intermédiaires en cas d'acné. Aucun des androgènes mesurés ne permettait, à lui seul, d'identifier tous les cas d'hyperandrogénie, mais la testostérone salivaire a montré la meilleure corrélation positive avec l'hirsutisme, alors que la testostérone plasmatique totale montrait la moins bonne corrélation, et l'androstènedione, le DHEAS et la SHBG des corrélations intermédiaires (corrélation négative pour la SHBG). De plus, au cours du traitement antiandrogénique, la testostérone salivaire a montré l'abaissement proportionnel le plus marqué de tous les androgénes mesurés. Comparées aux patientes originaires d'Europe centrale, les patientes originaires d'Europe du sud consultaient avec des degrés d'hirsutisme supérieurs, mais aucune différence n'a été observée dans les corrélations entre l'hirsutisme et les taux hormonaux de ces deux groupes. En l'absence d'un nombre suffisant d'échographies ovariennes, .la prévalence du syndrome des ovaires polykystiques a été probablement sous-estimée (63 patientes, 27.6 % des cas), au bénéfice du diagnostic d'hyperandrogénie avec euménorrhée (101, 44.3 %); les autres diagnostics étaient: androgénes normaux (51, 22.4%), SHBG basse isolée (7, 3.1%), hyperplasie surrénalienne congénitale non-classique (4, 1.8%), et tumeur ovarienne (2, 0.9%). Nous avons comparé les divers traitements médicaux de l'hirsutisme publiés au cours des 25 dernières années, quant à leur efficacité et leur coût. La sensibilisation à l'insuline avec metformin est moins efficace, mais aussi moins chère. L'anti-androgène flutamide et l'inhibiteur de la 5-α reductase finastéride figurent parmi les traitements les plus performants, mais ils sont aussi les plus chers. Le traitement anti-androgénique et de suppression hormonale avec acétate de cyprotérone et éthinyloestradiol, utilisé dans cette étude, est également parmi les plus efficaces, tout en étant nettement moins cher. Cette étude est la première comparant directement les taux d'androgènes et la prévalence de l'oligoaménorrhée dans les 3 symptômes cutanés d'hyperandrogénie, hirsutisme, acné et alopécie, et elle démontre leur différente dépendance aux androgènes. La salive apparait comme un milieu de choix pour identifier ces patientes et la recommandation actuelle de doser la testostérone plasmatique totale en premier, pour distinguer l'hyperandrogénie de l'hirsutisme idiopathique, nous paraît inadéquate. Nous proposons, au contraire, d'abandonner ce dosage au profit de celui de la testostérone salivaire. Par ailleurs, notre étude infirme l'hypothèse d'une sensibilité cutanée accrue aux androgènes chez les femmes originaires du sud de l'Europe. Finalement, elle est la seule à comparer les effets cliniques, les changements biologiques et le coût annuel des traitements publiés de l'hirsutisme.