A parameterization method for the computation of invariant tori and their whiskers in quasi-periodic maps: explorations and mechanisms for the breakdown of hyperbolicity

In two previous papers [J. Differential Equations, 228 (2006), pp. 530 579; Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B, 6 (2006), pp. 1261 1300] we have developed fast algorithms for the computations of invariant tori in quasi‐periodic systems and developed theorems that assess their accuracy. In this paper, we study the results of implementing these algorithms and study their performance in actual implementations. More importantly, we note that, due to the speed of the algorithms and the theoretical developments about their reliability, we can compute with confidence invariant objects close to the breakdown of their hyperbolicity properties. This allows us to identify a mechanism of loss of hyperbolicity and measure some of its quantitative regularities. We find that some systems lose hyperbolicity because the stable and unstable bundles approach each other but the Lyapunov multipliers remain away from 1. We find empirically that, close to the breakdown, the distances between the invariant bundles and the Lyapunov multipliers which are natural measures of hyperbolicity depend on the parameters, with power laws with universal exponents. We also observe that, even if the rigorous justifications in [J. Differential Equations, 228 (2006), pp. 530-579] are developed only for hyperbolic tori, the algorithms work also for elliptic tori in Hamiltonian systems. We can continue these tori and also compute some bifurcations at resonance which may lead to the existence of hyperbolic tori with nonorientable bundles. We compute manifolds tangent to nonorientable bundles.

El desenvolupament curricular del bloc d’activitats al medi natural per part dels professors d’Educació Física de la ciutat de Vic i les poblacions del voltant

L’estudi que es presenta a continuació té l’objectiu d’analitzar el desenvolupament curricular del bloc de continguts d’activitats al medi natural de l’assignatura d’Educació Física de la ciutat de Vic i de les poblacions situades en un radi de 10 kilòmetres. Per tal de dur-ho a terme, primerament s’ha realitzat un procés d’aproximació a les activitats al medi natural en l’educació, aprofundint en les característiques d’aquestes activitats en els centres, en la poca pràctica i els factors de limitació que tenen. A partir d’aquí, s’ha fet l’estudi amb una mostra formada de 29 professors d’Educació Física dels diferents cursos de la ESO. Per tal de realitzar la recerca i l’anàlisi, s’ha emprat una metodologia quantitativa de caràcter explicatiu, transversal i quasi experimental, i s’ha utilitzat l’instrument corresponent al qüestionari. Aquest, ha estat elaborat prenent com a referència el de l’estudi de Peñarrubia et al.(2011). Els resultats que s’han obtingut demostren que el bloc d’activitats al medi natural és el menys treballat per part del professors d’Educació Física, que un 14% del professorat no les treballa i dels que si ho fan un 68% les realitzen només una vegada a l’any. També destacar que aquests continguts no es treballen en el 33% dels cursos de la zona estudiada. Pel què fa els continguts més treballats destaquen l’orientació seguit del senderisme. Referent als factors de limitació destaquen la responsabilitat civil del professor i l’horari de classe com els més condicionants. Pel què fa a les activitats, l’escalada esdevé l’activitat on els factors de limitació influeixen més mentre que en l’orientació i el senderisme tenen poca importància. D’aquesta manera es pot veure una estreta relació entre els factors de limitació d’aquestes activitats i la poca pràctica d’aquestes en els centres educatius estudiats.