Verteilungsapproximation durch konvexe Schranken : mit Anwendungen auf Summen lognormalverteilter Zufallsvariablen

Ziel der vorliegenden Arbeit war es, Möglichkeiten zur Approximation des Vermögensendwerts von Fonds-Sparplänen, wie sie typischerweise von Banken und Versicherungen angeboten werden, aufzuspüren und zu untersuchen. Von Interesse sind hierbei Approximationen für die Verteilungsfunktion, Quantile, gestutzte Erwartungswerte und Tail-Values-at-Risk. Die Modellierung der zu Grunde liegenden Wertpapierpreisprozesse erfolgt, wie üblich, als geometrische Brownsche Bewegung, wodurch der Vermögensendwert eines Wertpapiersparplans strukturell eine Summe lognormalverteilter Zufallsvariablen ist. Die Verteilung einer solchen Summe ist jedoch bekanntlich nicht explizit anzugeben; deren Simulation ist natürlich möglich, jedoch ob der Vielzahl von bei einer Bank oder Versicherung zu verwaltender Sparpläne unpraktikabel. Immer wieder stößt man auf Arbeiten, in denen darauf hingewiesen wird, dass die Summe von lognormalverteilten Zufallsvariablen gut durch eine eindimensional lognormalverteilte Zufallsvariable, in der Regel durch eine mit demselben Erwartungswert und derselben Varianz, approximiert würde. Dies konnte meist einzig und allein durch Simulationen und numerische Berechnungen gestützt werden. Wir präsentieren hier ein Resultat, welches eine Rechtfertigung für die genannte Approximation liefert: die Verteilungskonvergenz gegen eine Lognormalverteilung bei verschwindenden Varianzen/ Kovarianzen der Summanden ...