Optimización en el cómputos de algoritmos de cuadratura para funciones especiales. Optimization of quadrature algorithms for special functions.

En nuestro proyecto anterior aproximamos el cálculo de una integral definida con integrandos de grandes variaciones funcionales. Nuestra aproximación paraleliza el algoritmo de cómputo de un método adaptivo de cuadratura, basado en reglas de Newton-Cote. Los primeros resultados obtenidos fueron comunicados en distintos congresos nacionales e internacionales; ellos nos permintieron comenzar con una tipificación de las reglas de cuadratura existentes y una clasificación de algunas funciones utilizadas como funciones de prueba. Estas tareas de clasificación y tipificación no las hemos finalizado, por lo que pretendemos darle continuidad a fin de poder informar sobre la conveniencia o no de utilizar nuestra técnica. Para llevar adelante esta tarea se buscará una base de funciones de prueba y se ampliará el espectro de reglas de cuadraturas a utilizar. Además, nos proponemos re-estructurar el cálculo de algunas rutinas que intervienen en el cómputo de la mínima energía de una molécula. Este programa ya existe en su versión secuencial y está modelizado utilizando la aproximación LCAO. El mismo obtiene resultados exitosos en cuanto a precisión, comparado con otras publicaciones internacionales similares, pero requiere de un tiempo de cálculo significativamente alto. Nuestra propuesta es paralelizar el algoritmo mencionado abordándolo al menos en dos niveles: 1- decidir si conviene distribuir el cálculo de una integral entre varios procesadores o si será mejor distribuir distintas integrales entre diferentes procesadores. Debemos recordar que en los entornos de arquitecturas paralelas basadas en redes (típicamente redes de área local, LAN) el tiempo que ocupa el envío de mensajes entre los procesadores es muy significativo medido en cantidad de operaciones de cálculo que un procesador puede completar. 2- de ser necesario, paralelizar el cálculo de integrales dobles y/o triples. Para el desarrollo de nuestra propuesta se desarrollarán heurísticas para verificar y construir modelos en los casos mencionados tendientes a mejorar las rutinas de cálculo ya conocidas. A la vez que se testearán los algoritmos con casos de prueba. La metodología a utilizar es la habitual en Cálculo Numérico. Con cada propuesta se requiere: a) Implementar un algoritmo de cálculo tratando de lograr versiones superadoras de las ya existentes. b) Realizar los ejercicios de comparación con las rutinas existentes para confirmar o desechar una mejor perfomance numérica. c) Realizar estudios teóricos de error vinculados al método y a la implementación. Se conformó un equipo interdisciplinario integrado por investigadores tanto de Ciencias de la Computación como de Matemática. Metas a alcanzar Se espera obtener una caracterización de las reglas de cuadratura según su efectividad, con funciones de comportamiento oscilatorio y con decaimiento exponencial, y desarrollar implementaciones computacionales adecuadas, optimizadas y basadas en arquitecturas paralelas.

Formas automorfas

El proyecto consta de varios temas interrelacionados, siendo el área general, la teoría espectral del Laplaciano en variedades localmente simétricas y sus aplicaciones. Cada tema consta de varios subproyectos. * Distribución de sumas de Kloosterman, funciones de zeta. * Transformada T (y/psi) para grupos de rango 1. * M- invariantes en las álgebras simétrica y universal. * Series de Poincaré generalizadas. * Variedades compactas planas isospectrales. * Construcción de variedades de Hsntzsche-Wendt generalizadas. * Estructuras de Clifford de variedades localmente homogeneas. * Distribución de puntos reticulares en esp. Simétricos de curvatura no positiva. * Resolvente del laplaciano y sus residuos en espacios localmente simétricos de curvatura no positiva.

Análisis no conmutativo y ecuaciones diferenciales

Se continuará desarrollando líneas de trabajo en análisis armónico no conmutativo. El problema a considerar consiste en obtener, sobre el grupo de Heisenberg, la descomposición espectral simultánea en el estudio de las funciones de cuadrado integrable, correspondientes a cierto operador diferencial de segundo orden y cierto operador de orden 1. Asimismo se continuará con el desarrollo en el área de ecuaciones diferenciales parabólicas con coeficientes periódicos en el tiempo (...) consistentes en : a) Problemas de autovalores con función de peso y valores en la frontera: en este caso se pretende mejorar resultados obtenidos sobre condiciones sobre el peso para existencia, unicidad de autofunciones positivas periódicas así como estudiar la dependencia de autovalore en términos del peso. b) Estudir el análogo parabólico periódico del espectro de Fusik elíptico, de interés por sus posibles aplicaciones a resultados de existencia y no existencia de soluciones de problemas no lineales. (...)

Representaciones de grupos y álgebras de Lie

Este proyecto cuenta con 7 subproyectos.Subproyecto: Restricciones de representaciones de cuadrado integrable.Se continuará trabajando en el problema de restringir representaciones de cuadrado integrable en un grupo de Lie a un subgrupo semisimple o la factor unipotente de un subgrupo parabólico. En particular, se continuará analizando el caso de restringir desde el grupo SO(2n,1) al subgrupo SO(2) x SO(2n-2,1) y al factor unipotente del parabólico minimal de un grupo de Lie clásico de rango uno. Subproyecto: Representación metapléctica y grupos de Heisenberg generalizados. Se estudia la restricción de la representación metapléctica a subgrupos del grupo metapléctico. Subproyecto: Álgebras de tipo H. Se estudiarán estructuras de biálgebra en las álgebras de tipo H, álgebras de Lie nilpotentes de dos etapas. Se continuará con el estudio de cuantizaciones de álgebras de tipo H. Se estudiarán propiedades geométricas de las funciones theta generalizadas que surgen de álgebras de tipo H. Subproyecto: Módulos de peso máximo. Se intenta dar una respuesta al problema de clasificación de módulos quasifinitos de peso máximo sobre ciertas álgebras de dimensión infinita. Subproyecto: Cuantización de las álgebras de tipo H. Se tratará de cuantizar las álgebras de tipo H, álgebras de Lie nilpotentes de dos etapas. Se trabajará con una definición más general de las álgebras de Heisenberg, tratando de encontrar teoremas tipo Stone-Von Neumann y generalizaciones de las funciones theta. Subproyecto: Continuación analítica de integrales de coeficientes matriciales. Se analiza la existencia de continuación holomorfa de la integral a lo largo de un grupo semisimple real de las potencias complejas de un coeficiente matricial de una representación irreducible admisible. Subproyecto: Cálculo explícito de soluciones fundamentales de operadores invariantes. Se analizan condiciones en el polinomio que define un operador diferencial k-invariante para que resulte hipoellítico. Se trata en particular el caso del grupo SO(n,1). Subproyecto 7: Generadores de Goldie. Se trata de encontrar algoritmos para el cálculo de generadores de Goldie.

Algebras de Lie de tipo H

Es mi intención centrar mis investigaciones en los próximos años en las álgebras de Lie tipo H. Es nuestro objetivo encontrar nuevas familias de álgebras regulares no de tipo H y verificar la existencia o no de irreducibles cumpliendo de estas propiedades. En particular es interesante plantear su cuantización, es decir encontrar estructuras de álgebras de Hopf que sean deformaciones del álgebra envolvente correspondiente al álgebra de Lie en estudio. En particular estudiaremos si existen cuantizaciones quasitriangulares lo que nos llevaría soluciones de la ecuación de Yang-Baxter cuántica. Hasta ahora hemos logrado la cuantización en ciertos casos particulares. Para comprender cómo deben ser hechas las cuantizaciones en forma más general es necesario realizar un estudio sistemático de las estructuras de la biálgebra de las álgebras de Lie de tipo H. En particular se tratarán de detectar estructuras de biálgebra quasitriangulares y por consiguientes soluciones de la ecuación de Yang-Baxter clásica. Es un resultado conocido que las funciones de theta se pueden expresar como coeficiente matricial de la representación de Stone-Von Neumann. De los teoremas de Stone-Von Neumann para álgebras de tipo H surgen entonces funciones que serían una generalización de las funciones theta; es nuestro objetivo encontrar propiedades de estas funciones que puedan ser de interés.

Reducciones Jesuiticas en el Chaco, Noroeste y Sur Argentino. Emplazamiento Territorial. Desarrollo Urbano y Arquitectónico entre los siglos XVII y XVIII. Evolución, Funciones y Tipologías. Reductions in the Chaco, Argentine Northwest and South. Territorial emplazan. Architectural and Urban Development between the seventeenth and eighteenth centuries. Evolution, Functions and Typologies.

Las reducciones jesuíticas en Argentina reconocen generalmente un único aporte en la región guaraní. Pero lo cierto es que una cantidad importante de reducciones, equivalente en número con las anteriormente mencionadas, se desarrollaron en el interior del país, fundamentalmente en las regiones del Chaco, noroeste y sur argentino. Muchas de ellas reconocen hoy su continuidad en centros urbanos y otras tan sólo, y en el mejor de los casos, en vestigios arqueológicos. Se propone el análisis de este conjunto desde las primeras incursiones en "misiones volantes" en el siglo XVII hasta la expulsión de los jesuitas en 1767. También se abordarán las modalidades y procesos generadores de centros reduccionales en estas regiones y sus interrelaciones territoriales. Además se pretende analizar sus funciones y morfologías originales, su evolución, traslados y posibles transformaciones posteriores, en las etapas previas al impacto originado ante la ausencia de la Compañía de Jesús. Los resultados incluirán la interpretación de los procesos formativos, con su diversidad de casos, en escalas regionales y locales, la recopilación de cartografía regional y urbana, y la determinación de series tipológicas de formas de trazados y organizaciones de tejidos, tanto en las demarcaciones de origen como en sus remodelaciones y ensanches cuando así correspondiere.

Métodos estadístico-computacionales para la caracterización de patrones de expresión de proteínas en 2D-DIGE.

El volumen de datos provenientes de experimentos basados en genómica y poteómica es grande y de estructura compleja. Solo a través de un análisis bioinformático/bioestadístico eficiente es posible identificar y caracterizar perfiles de expresión de genes y proteínas que se expresan en forma diferencial bajo distintas condiciones experimentales (CE). El objetivo principal es extender las capacidades computacionales y analíticos de los softwares disponibles de análisis de este tipo de datos, en especial para aquellos aplicables a datos de electroforésis bidimensional diferencial (2D-DIGE). En DIGE el método estadístico más usado es la prueba t de Student cuya aplicación presupone una única fuente de variación y el cumplimiento de ciertos supuestos distribucionales de los datos (como independencia y homogeneidad de varianzas), los cuales no siempre se cumplen en la práctica, pudiendo conllevar a errores en las estimaciones e inferencias de los efectos de interés. Los modelos Generalizados lineales mixtos (GLMM) permiten no solo incorporar los efectos que, se asume, afectan la variación de la respuesta sino que también modelan estructuras de covarianzas y de correlaciones más afines a las que se presentan en la realidad, liberando del supuesto de independencia y de normalidad. Estos modelos, más complejos en esencia, simplificarán el análisis debido a la modelización directa de los datos crudos sin la aplicación de transformaciones para lograr distribuciones más simétricas,produciendo también a una estimación estadísticamente más eficiente de los efectos presentes y por tanto a una detección más certera de los genes/proteínas involucrados en procesos biológicos de interés. La característica relevante de esta tecnología es que no se conoce a priori cuáles son las proteínas presentes. Estas son identificadas mediante otras técnicas más costosas una vez que se detectó un conjunto de manchas diferenciales sobre los geles 2DE. Por ende disminuir los falsos positivos es fundamental en la identificación de tales manchas ya que inducen a resultados erróneas y asociaciones biológica ficticias. Esto no solo se logrará mediante el desarrollo de técnicas de normalización que incorporen explícitamente las CE, sino también con el desarrollo de métodos que permitan salirse del supuesto de gaussianidad y evaluar otros supuestos distribucionales más adecuados para este tipo de datos. También, se desarrollarán técnicas de aprendizaje automática que mediante optimización de funciones de costo específicas nos permitan identificar el subconjunto de proteínas con mayor potencialidad diagnóstica. Este proyecto tiene un alto componente estadístico/bioinformática, pero creemos que es el campo de aplicación, es decir la genómica y la proteómica, los que más se beneficiarán con los resultados esperados. Para tal fin se utilizarán diversas bases de datos de distintos experimentos provistos por distintos centros de investigación nacionales e internacionales.