Root-locus practical sketching rules for fractional-order system

For integer-order systems, there are well-known practical rules for RL sketching. Nevertheless, these rules cannot be directly applied to fractional-order (FO) systems. Besides, the existing literature on this topic is scarce and exclusively focused on commensurate systems, usually expressed as the ratio of two noninteger polynomials. The practical rules derived for those do not apply to other symbolic expressions, namely, to transfer functions expressed as the ratio of FO zeros and poles. However, this is an important case as it is an extension of the classical integer-order problem usually addressed by control engineers. Extending the RL practical sketching rules to such FO systems will contribute to decrease the lack of intuition about the corresponding system dynamics. This paper generalises several RL practical sketching rules to transfer functions specified as the ratio of FO zeros and poles. The subject is presented in a didactic perspective, being the rules applied to several examples.

Root locus of fractional linear systems

In this paper an algorithm for the calculation of the root locus of fractional linear systems is presented. The proposed algorithm takes advantage of present day computational resources and processes directly the characteristic equation, avoiding the limitations revealed by standard methods. The results demonstrate the good performance for different types of expressions.

Medo de Palco: contributo para uma análise e aplicação de estratégias visando o seu controle

“Nós reverenciamos Cláudio Arrau, cuja arte tinha a profundidade e o fôlego de um velho sábio e o virtuosismo estonteante de um jovem vencedor de um concurso”1. Este comentário de Pedro de Alcântara, graduado em música pela Yale School of Music e professor de Técnica Alexander, será seguramente secundado por qualquer melómano. Arrau confessa numa entrevista a Elyse Mach:”… quando tinha dezoito ou dezanove anos, entreguei-me aos cuidados de um psiquiatra2 porque havia em mim uma espécie de bloqueio que me impedia de expressar o meu eu musical […] muitas vezes voltei a visitar este homem maravilhoso […]. Eu aconselharia qualquer intérprete a falar com um psiquiatra e, se necessário fazer análise. A paz de espírito que daí resulta vale a pena.”3 Qualquer intérprete, cantor, instrumentista ou maestro, tem consciência da existência do tipo de bloqueios de que fala Arrau. Conforme se pode constatar pelo comentário extraído do célebre tratado de flauta de Quantz em 1752, nem sequer é um problema recente: “Se o flautista que quer ser ouvido publicamente é timorato e não está ainda acostumado a tocar na presença de muitas pessoas, deve tentar, enquanto está a tocar, dirigir a sua atenção apenas para as notas à sua frente, nunca encarando os presentes, uma vez que isso distrai os pensamentos, e destrói a sua tranquilidade. […] O medo causa uma ebulição do sangue que disturba o regular funcionamento dos pulmões, assim como dos braços, da língua e dos dedos. Daí surge uma tremura dos membros muito obstrutiva ao tocar e, como resultado, o flautista será incapaz de produzir uma passagem mais longa num fôlego, ou quaisquer outros actos especialmente difíceis, tal como faria num estado de espírito tranquilo.”4 Ao longo dos séculos, todos os grandes intérpretes tiveram que lidar com os problemas associados à performance musical pública, e, mais ou menos inconscientemente desenvolveram rotinas, atitudes ou superstições que, com maior ou menor sucesso os ajudam a ultrapassá-los. É obviamente um assunto que muitos intérpretes preferem evitar. A sua racionalização implica enfrentar os próprios fantasmas, e sobretudo, traz implícita a constatação de que esses receios existem, algo que nunca é fácil de admitir por parte de alguém que durante muitos anos poderá ter sobrevivido à custa de um exercício de negação. Existem estratégias muito eficazes para ajudar a superar o stress relacionado com a performance musical. Urge analisá-las, compreendê-las, sistematizá-las e passá-las às gerações vindouras. Só assim se perpetuará o alto nível de execução que o acumular de experiências ao longo dos últimos séculos proporcionou, numa sociedade que cada vez mais pressiona os seus elementos para o êxito profissional como factor indissociável da felicidade e do sentimento de realização enquanto seres humanos.