Modelling a Rotating Shaft as an Elastically Restrained Bernoulli-Euler Beam

Industrial rotating machines may be exposed to severe dynamic excitations due to resonant working regimes. Dealing with the bending vibration, problem of a machine rotor, the shaft - and attached discs - can be simply modelled using the Bernoulli-Euler beam theory, as a continuous beam subjected to a specific set of boundary conditions. In this study, the authors recall Rayleigh's method to propose an iterative strategy, which allows for the determination of natural frequencies and mode shapes of continuous beams taking into account the effect of attached concentrated masses and rotational inertias, including different stiffness coefficients at the right and the left end sides. The algorithm starts with the exact solutions from Bernoulli-Euler's beam theory, which are then updated through Rayleigh's quotient parameters. Several loading cases are examined in comparison with the experimental data and examples are presented to illustrate the validity of the model and the accuracy of the obtained values.

Espetroscopia (1H) por ressonância magnética do disco intervertebral lombar no adulto e sua aplicação na rotina imagiológica

Objetivos – Demonstrar o potencial da espetroscopia (1H) por ressonância magnética na doença degenerativa discal lombar e defender a integração desta técnica na rotina clínico‑imagiológica para a precisa classificação da involução vs degenerescência dos discos L4‑L5 e L5‑S1 em doentes com lombalgia não relacionável com causa mecânica. Material e métodos – O estudo incluiu 102 discos intervertebrais lombares de 123 doentes. Foram estudados 61 discos de L4‑L5, 41 discos de L5‑S1 e 34 discos de D12‑L1. Utilizou‑se um sistema de ressonância magnética de 1,5 T e técnica monovoxel. Obtiveram‑se os rácios [Lac/Nacetyl] e [Nacetyl/(Lac+Lípidos)] e aplicou‑se a ressonância de lípidos para avaliar a bioquímica do disco com o fim de conhecer o estado de involução vs degenerescência que o suscetibilizam para a instabilidade e sobrecarga. Avaliou‑se o comportamento dos rácios e do teor lipídico dos discos L4‑L5‑S1 e as diferenças apresentadas em relação a D12‑L1. Foi também realizada a comparação entre os discos L4‑L5, L5‑S1 e D12‑L1 na ponderação T2 (T2W), segundo a classificação ajustada (1‑4) de Pfirrmann. Resultados – Verificou‑se que os rácios e o valor dos lípidos dos discos L4‑L5‑S1 apresentaram diferenças estatisticamente significativas quando relacionados com os discos D12‑L1. O rácio [Lac/Nacetyl] em L4‑L5‑S1 mostrou‑se aumentado em relação a D12‑L1 (p=0,033 para os discos com grau de involução [1+2] e p=0,004 para os discos com grau [3+4]). Estes resultados sugerem que a involução vs degenerescência dos discos nos graus mais elevados condiciona um decréscimo do pico do Lactato. O rácio [Nacetyl/(Lac+Lip)] discrimina os graus de involução [1+2] do [3+4] no nível L4‑L5, apresentando os valores dos rácios (média 0,65 e 0,5 respetivamente com p=0,04). O rácio médio de [Nacetyl/(Lac+Lip)] dos discos L4‑L5 foi 1,8 vezes mais elevado do que em D12‑L1. O espetro lipídico em L4‑L5‑S1 nos graus mais elevados não mostrou ter uma prevalência constante quanto às frequências de ressonância. Conclusão – A espetroscopia (1H) dos discos intervertebrais poderá ter aplicação na discriminação dos graus de involução vs degenerescência e representar um contributo semiológico importante em suplemento à ponderação T2 convencional. As ressonâncias de lípidos dos discos L4‑L5 e L5‑S1, involuídos ou degenerados, devem ser avaliadas em relação a D12‑L1, utilizando este valor como referência, pois este último é o nível considerado estável e com baixa probabilidade de degenerescência.