An Extension of Gompertzian Growth Dynamics Weibull and Frechet Models

In this work a new probabilistic and dynamical approach to an extension of the Gompertz law is proposed. A generalized family of probability density functions, designated by Beta* (p, q), which is proportional to the right hand side of the Tsoularis-Wallace model, is studied. In particular, for p = 2, the investigation is extended to the extreme value models of Weibull and Frechet type. These models, described by differential equations, are proportional to the hyper-Gompertz growth model. It is proved that the Beta* (2, q) densities are a power of betas mixture, and that its dynamics are determined by a non-linear coupling of probabilities. The dynamical analysis is performed using techniques of symbolic dynamics and the system complexity is measured using topological entropy. Generally, the natural history of a malignant tumour is reflected through bifurcation diagrams, in which are identified regions of regression, stability, bifurcation, chaos and terminus.

Strong and weak Allee effects and chaotic dynamics in Richards' growths

In this paper we define and investigate generalized Richards' growth models with strong and weak Allee effects and no Allee effect. We prove the transition from strong Allee effect to no Allee effect, passing through the weak Allee effect, depending on the implicit conditions, which involve the several parameters considered in the models. New classes of functions describing the existence or not of Allee effect are introduced, a new dynamical approach to Richards' populational growth equation is established. These families of generalized Richards' functions are proportional to the right hand side of the generalized Richards' growth models proposed. Subclasses of strong and weak Allee functions and functions with no Allee effect are characterized. The study of their bifurcation structure is presented in detail, this analysis is done based on the configurations of bifurcation curves and symbolic dynamics techniques. Generically, the dynamics of these functions are classified in the following types: extinction, semi-stability, stability, period doubling, chaos, chaotic semistability and essential extinction. We obtain conditions on the parameter plane for the existence of a weak Allee effect region related to the appearance of cusp points. To support our results, we present fold and flip bifurcations curves and numerical simulations of several bifurcation diagrams.

Os programas de matemática do ensino básico de 1990 e de 2007 e o processo de implementação do programa de 2007, no 1º ciclo do Ensino Básico

Mestrado em Educação Matemática na Educação Pré – Escolar e nos 1.º e 2.º Ciclos do Ensino Básico

Como avaliar as aprendizagens das práticas musicais em Educação Musical

É do conhecimento geral que muitos professores ensinam os alunos a ouvir, cantar e compor, mas usam testes escritos para avaliar as aprendizagens. Este facto revela que, por um lado, há quem tenha a ideia que os testes escritos estão mesmo a avaliar as práticas musicais e, por outro lado, também há quem considere que é muito difícil e inconsistente avaliar as práticas musicais porque a Música tem um carácter transitório, efémero, imaterial. Além do problema ser interessante, ele é abrangente porque existe tanto entre os professores especialistas de Música como entre os professores generalistas de Educação de Infância e de 1º Ciclo. A experiência levada a cabo nos últimos três anos no Mestrado em Ensino de Educação Musical no Ensino Básico sobre a forma de avaliar as aprendizagens dos alunos em Educação Musical mantém os testes escritos para avaliar os conhecimentos teóricos, mas introduz um instrumento de avaliação das práticas musicais, as grelhas de descritores de desempenho. Estas grelhas, ainda que mantendo princípios orientadores comuns, são sempre feitas à medida para cada situação específica de obra, atividade musical, alunos e são aplicadas não só em observação direta, mas também sobre registos áudio/vídeo. Estes instrumentos são construídos pelos docentes e não em conjunto com os alunos, mas são-lhes apresentados e explicados desde o início de cada unidade didática, usados regulamente para autoavaliação formativa e nas apresentações finais para avaliação sumativa. Desta forma os alunos sabem desde o início onde se espera que cheguem e sabem em cada momento do processo em que ponto se encontram e que problemas/dificuldades musicais devem ser ultrapassados. Em cada atividade comparámos a autoavaliação dos alunos com a avaliação dos professores e verificámos em todas as situações uma elevada correlação positiva (r > 0,9). Teremos ainda que consolidar os dados já obtidos pelo que esperamos o envolvimento de mais professores. A possibilidade de divulgar a solução aqui apresentada, nomeadamente, através de ações de formação contínua, permitirá um evidente aumento da consistência e fiabilidade da avaliação das práticas musicais em Educação Musical.