On universal central extensions of Hom-Leibniz algebras

In the category of Hom-Leibniz algebras we introduce the notion of Hom-corepresentation as adequate coefficients to construct the chain complex from which we compute the Leibniz homology of Hom-Leibniz algebras. We study universal central extensions of Hom-Leibniz algebras and generalize some classical results, nevertheless it is necessary to introduce new notions of α-central extension, universal α-central extension and α-perfect Hom-Leibniz algebra due to the fact that the composition of two central extensions of Hom-Leibniz algebras is not central. We also provide the recognition criteria for these kind of universal central extensions. We prove that an α-perfect Hom-Lie algebra admits a universal α-central extension in the categories of Hom-Lie and Hom-Leibniz algebras and we obtain the relationships between both of them. In case α = Id we recover the corresponding results on universal central extensions of Leibniz algebras.

INFIDELIDADE: um crime de gestão contra o património

Diz o art. 224º do Código Penal português (CP): “1 - Quem, tendo-lhe sido confiado, por lei ou por acto jurídico, o encargo de dispor de interesses patrimoniais alheios ou de os administrar ou fiscalizar, causar a esses interesses, intencionalmente e com grave violação dos deveres que lhe incumbem, prejuízo patrimonial importante é punido com pena de prisão até 3 anos ou com pena de multa. § 2 - A tentativa é punível. § 3 - O procedimento criminal depende de queixa. § 4 – É correspondentemente aplicável o disposto nos n.os 2 e 3 do artigo 206.º e na alínea a) do n.º 1 do artigo 207º. Redacção da Lei nº 19/2013, de 21/2 – vigente a partir de 23/3/13. Referem, por um lado, os n.os 2 e 3 do artigo 206º: “Restituição ou reparação: (…) 2 - Quando a coisa furtada ou ilegitimamente apropriada for restituída, ou tiver lugar a reparação integral do prejuízo causado, sem dano ilegítimo de terceiro, até ao início da audiência de julgamento em 1ª instância, a pena é especialmente atenuada. § 3 - Se a restituição ou a reparação forem parciais, a pena pode ser especialmente atenuada”. § Says the art. 224 of the Portuguese Penal Code (PC): "1 - Who, having been entrusted by law or legal act, the disposal charge of other people's property interests or to manage or supervise, cause to those interests, intentionally and with serious breach of his duties, important material damage is punished with imprisonment up to three years or a fine. § 2 - The attempt is punishable. § 3 - The criminal proceedings on a complaint. § 4 - It is accordingly applicable the provisions of paragraphs 2 and 3 of Article 206 and paragraph a) of paragraph 1 of Article 207. Wording of Law No. 19/2013, of 21/2 - effective from 03.23.13. Refer on the one hand, paragraphs 2 and 3 of Article 206: "Restitution or repair: (...) 2 - When the stolen or illegally appropriate thing is restored, or have rise to full compensation for financial loss, no illegitimate damage Third, until the beginning of the trial, in 1st instance, the penalty is mitigated. § 3 - If the refund or repair are partial, the penalty can be mitigated. "