Entwicklung von Verfahren zur visuellen Beurteilung von Stabilitätseigenschaften nichtlinearer, zeitdiskreter Systeme

In dieser Arbeit werden Verfahren zur visuellen Beurteilung von Stabilitätseigenschaften nichtlinearer, zeitdiskreter Systeme und mögliche Anwendungen vorgestellt. Ausgehend von den erforderlichen Grundbegriffen der Chaostheorie werden verschiedene Maße zur Detektion, Beschreibung und Visualisierung chaotischen Systemverhaltens motiviert, mathematisch definiert, physikalisch interpretiert und gedeutet: der Lyapunov Exponent, die Entropie, das Fourierspektrum und die Korrelation. Als erste Anwendung basierend auf diesen Gütemaßen wird das Verhalten von linearen und nichtlinearen rekursiven Systemen visualisiert und verglichen. Es zeigt sich, dass bei rekursiven linearen Systemen der Übergang von einem stabilen in einen instabilen oder chaotischen Zustand kontinuierlich erfolgt, während dieser Übergang bei nicht linearen Systemen häufig abrupt auftritt. Unter Verwendung der vorgestellten Visualisierung lässt sich sehr genau nachvollziehen, welche Parameter und insbesondere welche Parameterübergänge dabei kritisch sind. Diese Kenntnis ist sehr wichtig für eine störfreie Systemparametrierung und eine erforderliche Arbeitspunktsuche. In einer zweiten Anwendung wird chaotisches Systemverhalten als Generator optimal orthogonaler Signalfunktionen eingesetzt. Dazu wird die Rekursionsfolge in einem chaotischen Arbeitspunkt eines nichtlinearen rekursiven Systems als Musterfunktion eines statistischen Zufallsprozesses interpretiert: Je chaotischer das Systemverhalten und je kleiner die Varianz des Korrelationsmaßes desto besser können orthogonale Signalfolgen modelliert werden. Solche Signalfolgen sind von großer Bedeutung, wenn digitale Nachrichten über einen gestörten Kanal mit minimalem Daten- und Energieaufwand übertragen werden sollen. Als abschließendes Beispiel wird die fraktale Bildcodierung vorgestellt. Sie beruht nicht wie die klassischen Verfahren der Bildcodierung (Prädiktion, Transformation) auf statistischen Eigenschaften des Bildsignals sondern ausschließlich auf Selbstähnlichkeit. Die Bildpunkte eines Bildblockes werden nicht durch deren Grauwerte sondern durch ein Fraktal beschrieben, wobei dieses Fraktal durch eine kontraktive, affine Abbildung der Grauwertinformation dargestellt wird. Dieses Fraktal, d.h. diese Abbildungsvorschrift oder Gesetzmäßigkeit beschreibt die vollständige Information des Bildes. Durch die Anwendung dieser fraktalen Darstellung wird das codierte Bild aus beliebigen Bildern gleicher Größe generiert.