Calculus of variations on time scales and discrete fractional calculus

Estudamos problemas do cálculo das variações e controlo óptimo no contexto das escalas temporais. Especificamente, obtemos condições necessárias de optimalidade do tipo de Euler–Lagrange tanto para lagrangianos dependendo de derivadas delta de ordem superior como para problemas isoperimétricos. Desenvolvemos também alguns métodos directos que permitem resolver determinadas classes de problemas variacionais através de desigualdades em escalas temporais. No último capítulo apresentamos operadores de diferença fraccionários e propomos um novo cálculo das variações fraccionário em tempo discreto. Obtemos as correspondentes condições necessárias de Euler– Lagrange e Legendre, ilustrando depois a teoria com alguns exemplos.

Fractional calculus on time scales - Cálculo fraccional em escalas temporais

Introduzimos um cálculo das variações fraccional nas escalas temporais ℤ e (hℤ)!. Estabelecemos a primeira e a segunda condição necessária de optimalidade. São dados alguns exemplos numéricos que ilustram o uso quer da nova condição de Euler–Lagrange quer da nova condição do tipo de Legendre. Introduzimos também novas definições de derivada fraccional e de integral fraccional numa escala temporal com recurso à transformada inversa generalizada de Laplace.

Colaboração em didática: utopia, desencanto e possibilidade

O presente estudo ocupa-se de uma problemática em Didática – as relações entre a investigação científica e o desenvolvimento do campo – e assenta no pressuposto de que essas relações se constroem conjugando o pensamento e a atuação de investigadores, académicos, professores, e formadores de professores, numa ação conjunta conduzida com a participação comprometida das suas instituições profissionais e orientada para o desenvolvimento de todos os intervenientes, da sua área de atividade e, assim, do ensino/aprendizagem e dos alunos. Nesse sentido, o estudo foi concebido no intuito de criar condições propícias ao estreitamento das relações em foco, tendo em vista, simultaneamente, o aprofundamento do conhecimento sobre a problemática. Assumiu, pois, uma finalidade de intervenção no terreno e uma finalidade científica de avaliação da experiência proporcionada por essa intervenção, na expectativa do alargamento da compreensão do objeto de estudo. Na confluência dessas finalidades, a investigação desenvolveu-se como um estudo de caso norteado por duas proposições teóricas: - A colaboração entre académicos e professores, no âmbito de projetos de investigação em Didática, e o comprometimento das instituições profissionais de ambos com essas iniciativas colaborativas poderão favorecer o desenvolvimento do campo, dos atores que nele intervêm e das instituições implicadas. - A formação contínua de professores centrada na investigação em Didática poderá constituir espaço privilegiado para o desenvolvimento dessas dinâmicas de colaboração. No alinhamento destas proposições com a finalidade interventiva do estudo, diferentes atores em Didática foram desafiados a envolver-se numa iniciativa de investigação/formação colaborativa e daí resultou o caso analisado nesta investigação, o projeto ICA/DL (Investiga, Colabora e Atua em Didática de Línguas). Tal projeto, realizado no âmbito de uma parceria formalizada num Protocolo de Colaboração, envolveu uma equipa composta por cinco docentes do Departamento de Didática e Tecnologia Educativa (atual Departamento de Educação) da Universidade de Aveiro e por 4 professores da Escola Secundária Dr. João Carlos Celestino Gomes – Ílhavo e implicou ainda, institucionalmente, a universidade, a escola e o Centro de Formação das Escolas do Concelho de Ílhavo (atualmente, Centro de Formação de Associação de Escolas dos Concelhos de Ílhavo, Vagos e Oliveira do Bairro). As atividades do projeto iniciaram-se no final de 2003, com os primeiros encontros de negociação da parceria, e prolongaram-se até meados de 2007, altura em que a equipa reuniu pela última vez. O programa operacional central desenvolveu-se entre janeiro de 2004 e novembro de 2005 e concretizou-se num percurso de investigação e de formação em colaboração entre académicos e professores, concebido e implementado pela equipa e acreditado pelo Conselho Científico-Pedagógico da Formação Contínua. Tal programa centrou-se no estudo de um tópico em Didática de Línguas (a competência de aprendizagem plurilingue), na realização de intervenções de ensino/aprendizagem, no âmbito do mesmo tópico, junto dos alunos na escola e na avaliação da experiência com base em dados empíricos. A investigação que sobre o caso se conduziu, ao orientar-se, na prossecução da segunda finalidade estabelecida, para a compreensão da influência das dinâmicas colaborativas de investigação/formação sobre o desenvolvimento dos intervenientes (equipa, parceiros institucionais e alunos na escola), é também um estudo de impacte. A condução do processo empírico deu prioridade à produção de uma leitura integrada e complexa, capaz de evidenciar os impactes do projeto, interpretando-os com base na análise dos processos que terão condicionado a sua ocorrência. Nessa medida, a metodologia revestiu-se, intencionalmente, de uma natureza eminentemente interpretativa e qualitativa, socorrendo-se da triangulação de fontes, dados e procedimentos de análise. Contudo, o método integrou também procedimentos quantitativos, em particular, um exercício estatístico que, correlacionando totais de evidências verificadas e totais de evidências possíveis, procurou tornar mais precisa a avaliação da dimensão do impacte alcançado pelo projeto. Ensaiou-se, assim, uma abordagem metodológica em estudos de impacte em Educação, que propõe potenciar a compreensão de casos complexos, conjugando interpretação e objetivação/quantificação. A análise desvendou constrangimentos e obstáculos na vivência dos princípios conceptuais fundadores da noção de investigação/formação colaborativa que sustentou as proposições de partida e que fez emergir o ICA/DL. Tais dificuldades limitaram a assunção de responsabilidades partilhadas na condução processual da experiência, condicionaram dinâmicas supervisivas nem sempre colaborativas e facilitadoras e manifestaram-se em atitudes de compromisso por vezes frágil com o projeto. E terão afetado a concretização das expectativas iniciais de desenvolvimento de todos os participantes, determinando impactes de dimensão globalmente algo dececionante, assimetrias substantivas de influência da experiência levada a cabo no desenvolvimento profissional dos elementos da equipa e no desenvolvimento institucional e repercutindo-se em efeitos pouco expressivos no desenvolvimento dos alunos, no que toca a capacidades ativas de comunicação e de aprendizagem, enquadradas pelo tópico didático trabalhado no âmbito do projeto. Mas revelaram-se também sinais claros de que se avançou no sentido da concretização dos pressupostos colaborativos que sustentaram a iniciativa. Foi possível reunir académicos, professores e instituições educativas em torno da ideia de investigação/formação em colaboração e mobilizá-los como parceiros que se comprometeram na construção de um projeto assente nessa ideia. E percebeu-se que, apesar de pouco expressivo, houve impacte, pois há indicadores de que o projeto contribuiu positivamente para o desenvolvimento dos intervenientes. Na equipa, sinalizaram-se efeitos sobretudo nas práticas de ensino/aprendizagem das professoras e, no caso particular de uma delas, que teve uma participação mais envolvida em atividades de investigação, manifestaram-se impactes substancialmente mais notórios do que nos restantes elementos do grupo e que abrangeram diferentes dimensões da profissionalidade. As académicas, embora menos do que as professoras, também evidenciaram desenvolvimento, dominantemente, nos planos da investigação em Didática de Línguas e da formação de professores. E o ICA/DL parece ter proporcionado também impactes positivos junto das instituições implicadas, especialmente junto da universidade, designadamente, no que toca ao aprofundamento do pensamento sobre a problemática que sustentou a experiência e ao desenvolvimento de projetos de investigação. Por seu turno, os alunos, tendo revelado sinais modestos de reforço das suas capacidades de ação como interlocutores em situações de comunicação plurilingue e como aprendentes de línguas, deram mostras claras de terem tomado consciência de atitudes e de recursos que favorecem o desenvolvimento desses dois papéis. Para além disso, os responsáveis pela parceria, apesar dos obstáculos que limitaram o alcance dos seus propósitos, reafirmaram, na conclusão do projeto, a sua confiança nos princípios colaborativos que os uniram, antecipando a continuidade de uma experiência que entenderam como primeiro passo na concretização desses princípios. No balanço das fragilidades vividas e dos ganhos conquistados pelo ICA/DL, o estudo permite renovar a convicção inicial no poder transformador das práticas de investigação/formação colaborativa em Didática, e assim, na emergência de uma comunidade una de professores e de académicos, movida por um projeto comum de desenvolvimento da Educação. Nessa perspetiva, avançam-se sugestões que abrangem a investigação, o processo de ensino/aprendizagem nas escolas, a formação de professores, as políticas em Didática e a Supervisão.

Symmetric quantum calculus

Generalizamos o cálculo Hahn variacional para problemas do cálculo das variações que envolvem derivadas de ordem superior. Estudamos o cálculo quântico simétrico, nomeadamente o cálculo quântico alpha,beta-simétrico, q-simétrico e Hahn-simétrico. Introduzimos o cálculo quântico simétrico variacional e deduzimos equações do tipo Euler-Lagrange para o cálculo q-simétrico e Hahn simétrico. Definimos a derivada simétrica em escalas temporais e deduzimos algumas das suas propriedades. Finalmente, introduzimos e estudamos o integral diamond que generaliza o integral diamond-alpha das escalas temporais.

Cálculo das variações fraccional generalizado

Nesta tese de doutoramento apresentamos um cálculo das variações fraccional generalizado. Consideramos problemas variacionais com derivadas e integrais fraccionais generalizados e estudamo-los usando métodos directos e indirectos. Em particular, obtemos condições necessárias de optimalidade de Euler-Lagrange para o problema fundamental e isoperimétrico, condições de transversalidade e teoremas de Noether. Demonstramos a existência de soluções, num espaço de funções apropriado, sob condições do tipo de Tonelli. Terminamos mostrando a existência de valores próprios, e correspondentes funções próprias ortogonais, para problemas de Sturm- Liouville.

Development of open models and tools for seismic risk assessment: application to Portugal

The exponential growth of the world population has led to an increase of settlements often located in areas prone to natural disasters, including earthquakes. Consequently, despite the important advances in the field of natural catastrophes modelling and risk mitigation actions, the overall human losses have continued to increase and unprecedented economic losses have been registered. In the research work presented herein, various areas of earthquake engineering and seismology are thoroughly investigated, and a case study application for mainland Portugal is performed. Seismic risk assessment is a critical link in the reduction of casualties and damages due to earthquakes. Recognition of this relation has led to a rapid rise in demand for accurate, reliable and flexible numerical tools and software. In the present work, an open-source platform for seismic hazard and risk assessment is developed. This software is capable of computing the distribution of losses or damage for an earthquake scenario (deterministic event-based) or earthquake losses due to all the possible seismic events that might occur within a region for a given interval of time (probabilistic event-based). This effort has been developed following an open and transparent philosophy and therefore, it is available to any individual or institution. The estimation of the seismic risk depends mainly on three components: seismic hazard, exposure and vulnerability. The latter component assumes special importance, as by intervening with appropriate retrofitting solutions, it may be possible to decrease directly the seismic risk. The employment of analytical methodologies is fundamental in the assessment of structural vulnerability, particularly in regions where post-earthquake building damage might not be available. Several common methodologies are investigated, and conclusions are yielded regarding the method that can provide an optimal balance between accuracy and computational effort. In addition, a simplified approach based on the displacement-based earthquake loss assessment (DBELA) is proposed, which allows for the rapid estimation of fragility curves, considering a wide spectrum of uncertainties. A novel vulnerability model for the reinforced concrete building stock in Portugal is proposed in this work, using statistical information collected from hundreds of real buildings. An analytical approach based on nonlinear time history analysis is adopted and the impact of a set of key parameters investigated, including the damage state criteria and the chosen intensity measure type. A comprehensive review of previous studies that contributed to the understanding of the seismic hazard and risk for Portugal is presented. An existing seismic source model was employed with recently proposed attenuation models to calculate probabilistic seismic hazard throughout the territory. The latter results are combined with information from the 2011 Building Census and the aforementioned vulnerability model to estimate economic loss maps for a return period of 475 years. These losses are disaggregated across the different building typologies and conclusions are yielded regarding the type of construction more vulnerable to seismic activity.

Calculus of variations on time scales and applications to economics

We consider some problems of the calculus of variations on time scales. On the beginning our attention is paid on two inverse extremal problems on arbitrary time scales. Firstly, using the Euler-Lagrange equation and the strengthened Legendre condition, we derive a general form for a variation functional that attains a local minimum at a given point of the vector space. Furthermore, we prove a necessary condition for a dynamic integro-differential equation to be an Euler-Lagrange equation. New and interesting results for the discrete and quantum calculus are obtained as particular cases. Afterwards, we prove Euler-Lagrange type equations and transversality conditions for generalized infinite horizon problems. Next we investigate the composition of a certain scalar function with delta and nabla integrals of a vector valued field. Euler-Lagrange equations in integral form, transversality conditions, and necessary optimality conditions for isoperimetric problems, on an arbitrary time scale, are proved. In the end, two main issues of application of time scales in economic, with interesting results, are presented. In the former case we consider a firm that wants to program its production and investment policies to reach a given production rate and to maximize its future market competitiveness. The model which describes firm activities is studied in two different ways: using classical discretizations; and applying discrete versions of our result on time scales. In the end we compare the cost functional values obtained from those two approaches. The latter problem is more complex and relates to rate of inflation, p, and rate of unemployment, u, which inflict a social loss. Using known relations between p, u, and the expected rate of inflation π, we rewrite the social loss function as a function of π. We present this model in the time scale framework and find an optimal path π that minimizes the total social loss over a given time interval.

F. G. Teixeira e a comunidade matemática europeia nos séculos XIX-XX

Esta dissertação descreve o processo de integração dos matemáticos portugueses na comunidade matemática internacional no final do século XIX e início do século XX, focando-se na vida e obra do matemático Francisco Gomes Teixeira (1851-1933). Tenciona a ser mais um contributo para o reconhecimento nacional e internacional do matemático Gomes Teixeira analisando a sua obra como matemático e organizador científico em Portugal através de fontes, parcialmente ainda não conhecidas. Para esse efeito analisou-se a evolução histórica que ocorreu no mundo científico daquela época, em particular a formação da comunidade matemática através de iniciativas individuais ou coletivas, muitas vezes acompanhadas pela fundação de revistas e elaboração de manuais que contribuíram para a internacionalização e, de certa forma, para uma estandardização do estudo universitário básico. Em particular foi estudada a situação em Portugal, onde o papel de liderança foi assumido por Gomes Teixeira. Mostra-se como Gomes Teixeira, graças ao seu trabalho, ao seu talento como matemático e à sua atividade como organizador académico, conseguiu reduzir significativamente o isolamento científico de Portugal na área da matemática. Estudou-se em extensão a fundação de revistas científicas em diferentes países, acompanhando a sua evolução desde de revistas nacionais até revistas internacionais. Focando-nos no Jornal de Sciencias Matemáticas e Astronómicas, fundado em 1877 por Gomes Teixeira (mais tarde conhecido internacionalmente como Teixeira’s Journal), acompanhamos detalhadamente a sua transformação de uma revista nacional numa revista internacional, sendo esta transformação comum naquela época à maioria de revistas científicas importantes de outros países como, por exemplo, no caso do Jornal de Crelle, do Jornal de Liouville, ou outros. Estudou-se igualmente o reconhecimento a nível internacional, através de referências estrangeiras, da abordagem original de Gomes Teixeira à Análise Infinitesimal patente nos seus manuais. O interesse de Gomes Teixeira pela teoria das funções analíticas e pelos seus diferentes desenvolvimentos em série manifestou-se no grande número de artigos publicados sobre este tema e encontrou reconhecimento justo pela designação de um teorema que completa resultados de Lagrange e de Laurent como Teorema de Teixeira. Na sua análise do mérito científico de Gomes Teixeira esta dissertação restringiu-se conscientemente nesta área da Análise Matemática, uma vez que um estudo abrangente de toda a obra ultrapassasse o nosso objetivo. Foi também discutido o intenso intercâmbio científico levado a cabo por Gomes Teixeira através de correspondência e troca de publicações ou permuta de revistas com os matemáticos de diferentes países. Esta análise permitiu verificar um aumento da popularidade dos matemáticos portugueses através do incremento do número de artigos publicados no estrangeiro durante quase 30 anos. Uma fonte imprescindível nesta análise foi o Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, cujas referências (em geral na língua alemã e por isso até agora quase nunca usadas na literatura Portuguesa) documentaram as publicações em quase todas as revistas matemáticas durante os anos da sua existência entre 1868 e 1942. Descreve-se a colaboração de Gomes Teixeira com diferentes organizações internacionais e documenta-se o apreço internacional por parte do mundo académico. Novos documentos traçam o processo de eleição como membro da Academia das Ciências Alemã Leopoldina, sob proposta de Georg Cantor e outros matemáticos alemães. Finalmente, incluí-se uma breve descrição das atividades levadas a cabo na Rússia, em Espanha e na Grécia em prol do processo de internacionalização da comunidade matemática europeia tendo em vista uma melhor contextualização do contributo de Gomes Teixeira para a integração de Portugal neste processo.