The Riemann-Hilbert method applied to the theory of orthogonal polynomials

Doutoramento em Matemática

Numerical and combinatorial applications of generalized Appell polynomials

This thesis studies properties and applications of different generalized Appell polynomials in the framework of Clifford analysis. As an example of 3D-quasi-conformal mappings realized by generalized Appell polynomials, an analogue of the complex Joukowski transformation of order two is introduced. The consideration of a Pascal n-simplex with hypercomplex entries allows stressing the combinatorial relevance of hypercomplex Appell polynomials. The concept of totally regular variables and its relation to generalized Appell polynomials leads to the construction of new bases for the space of homogeneous holomorphic polynomials whose elements are all isomorphic to the integer powers of the complex variable. For this reason, such polynomials are called pseudo-complex powers (PCP). Different variants of them are subject of a detailed investigation. Special attention is paid to the numerical aspects of PCP. An efficient algorithm based on complex arithmetic is proposed for their implementation. In this context a brief survey on numerical methods for inverting Vandermonde matrices is presented and a modified algorithm is proposed which illustrates advantages of a special type of PCP. Finally, combinatorial applications of generalized Appell polynomials are emphasized. The explicit expression of the coefficients of a particular type of Appell polynomials and their relation to a Pascal simplex with hypercomplex entries are derived. The comparison of two types of 3D Appell polynomials leads to the detection of new trigonometric summation formulas and combinatorial identities of Riordan-Sofo type characterized by their expression in terms of central binomial coefficients.

Monogenic polynomials of four variables with binomial expansion

In the recent past one of the main concern of research in the field of Hypercomplex Function Theory in Clifford Algebras was the development of a variety of new tools for a deeper understanding about its true elementary roots in the Function Theory of one Complex Variable. Therefore the study of the space of monogenic (Clifford holomorphic) functions by its stratification via homogeneous monogenic polynomials is a useful tool. In this paper we consider the structure of those polynomials of four real variables with binomial expansion. This allows a complete characterization of sequences of 4D generalized monogenic Appell polynomials by three different types of polynomials. A particularly important case is that of monogenic polynomials which are simply isomorphic to the integer powers of one complex variable and therefore also called pseudo-complex powers.

Toxicity assessment of essential metals in aquatic detritivores

Os contaminantes provenientes quer de fontes naturais quer como consequência da atividade humana, têm contribuído para a degradação dos ecossistemas aquáticos. Entre estes encontram-se os metais que podem, ou não ser essenciais mediante o papel que desempenham no metabolismo dos organismos. O cobre e o zinco são exemplos de metais essenciais, contudo quando atingem concentrações elevadas podem tornar-se tóxicos. Os detritívoros aquáticos desempenham um papel fundamental na decomposição da matéria orgânica, alimentando-se de carcaças e partes de plantas que caem nos cursos de água. Assim, estes organismos permitem que o ciclo dos nutrientes se complete e servem como elo de ligação entre todos os grupos funcionais do ecossistema mantendo o seu equilíbrio estrutural e funcional. Sendo a matéria orgânica a sua principal fonte de energia estão sujeitos à contaminação existente no meio, pelo que é de todo o interesse proceder-se à avaliação dos efeitos da toxicidade de metais nestes organismos. Uma vez que as diferenças comportamentais consequentes desta exposição podem originar variações na densidade e diversidade, o que se refletirá a nível das comunidades, originando alterações na estrutura e funcionamento do ecossistema. Tendo em vista a avaliação dos efeitos da contaminação por metais em detritívoros, o principal objetivo deste trabalho foi comparar a sensibilidade a metais essenciais de dois detritivoros aquáticos, o camarão Atyaephyra desmarestii e o anfípode Echinogammarus meridionalis. Para tal, avaliaram-se os efeitos do cobre e do zinco a diferentes níveis de organização biológica. Primeiro, foram determinadas as preferências alimentares de A. desmarestii e E. meridionalis considerando tanto a área das folhas como a contaminação por metais das folhas. Em seguida, avaliaram-se os efeitos do cobre e do zinco na sobrevivência e inibição alimentar de ambas as espécies. Finalmente, avaliaram-se os efeitos destes mesmos metais a nível bioquímico utilizando uma bateria de biomarcadores que incluiu enzimas de stresse oxidativo, o sistema de defesa antioxidante e as colinesterases. Ambos os organismos não mostraram preferência em relação a folhas de área diferente. A presença de uma maior ou menor concentração de metais essenciais no alimento não teve qualquer influência na sua escolha pelo alimento (contaminado ou não). Os ensaios agudos de cobre e zinco mostraram que o cobre é mais tóxico para ambas as espécies do que o zinco. O camarão demonstrou ser mais sensível ao zinco que o anfípode, tendo este sido mais sensível ao cobre ( CL50 do cobre para A. desmarestii foi de 0,128 mg.l-1 e o de E. meridionalis foi de 0,050 mg.l-1; os valores correspondentes para o zinco foram 7,951 e 11,860 mg.l-1, respectivamente. Em relação aos efeitos subletais, o cobre teve efeitos notórios na taxa de alimentação de E. meridionalis, mas não afectou a de A. desmarestii. No que diz respeito à exposição ao zinco, ambas as espécies parecem apresentar tendência para inibir a alimentação. A caracterização das colinesterases revelou que a principal forma presente em ambas as espécies é a acetilcolinesterase, a qual que não foi afetada pela presença dos metais, no caso do camarão, mas parece ser inibida pelo zinco no caso do anfípode. O cobre inibiu o sistema de defesa enzimático de ambas as espécies, sem sinais de danos lipídicos. Para além disto, inibiu uma das enzimas antioxidantes (GPx) do anfípode. Apesar de não ter ocorrido dano lipídico após exposição ao cobre, observou-se um ligeiro aumento dos níveis das LPO, o que pode ser indicativo de uma potencial existência de dano oxidativo, como resultado da falha do sistema de defesa antioxidante. Por outro lado, o zinco induziu o sistema de defesa em E. meriodionalis prevenindo o dano lipídico. Enquanto em A. desmarestii o sistema enzimático antioxidante não respondeu, tendo ocorrido dano celular oxidativo considerando-se, assim, que o sistema de defesa antioxidante do camarão pode ser comprometido por exposição a metais. Ainda que os danos celulares oxidativos tivessem ocorrido a baixas concentrações de zinco. A exposição a este metal também induziu a actividade da GST de E. meriodionalis. Considerando que a taxa de alimentação foi severamente reduzida no caso deste organismo, o zinco parece ser o metal cuja concentração no ecossistema requer maior atenção. Integrando as respostas dos biomarcadores parece também evidente que A. desmarestii responde de uma maneira geral a maiores concentrações dos dois metais, enquanto a resposta de E. meridionalis ocorre a concentrações inferiores. Pelo que, E. meridionalis parece ser mais sensível ao nível bioquímico. Neste trabalho, os dois detritívoros, com ligeiras diferenças no modo como utilizam a matéria orgânica disponível, apresentam diferenças na sensibilidade aos metais essenciais a vários níveis de organização biológica, sendo o zinco o metal que poderá causar maior preocupação a nível bioquímico, enquanto o cobre parece ser o mais tóxico ao nível do organismo, causando mortalidade a concentrações mais baixas.

Necessary and sufficient conditions for a Hamiltonian graph

A graph is singular if the zero eigenvalue is in the spectrum of its 0-1 adjacency matrix A. If an eigenvector belonging to the zero eigenspace of A has no zero entries, then the singular graph is said to be a core graph. A ( k,t)-regular set is a subset of the vertices inducing a k -regular subgraph such that every vertex not in the subset has t neighbours in it. We consider the case when k=t which relates to the eigenvalue zero under certain conditions. We show that if a regular graph has a ( k,k )-regular set, then it is a core graph. By considering the walk matrix we develop an algorithm to extract ( k,k )-regular sets and formulate a necessary and sufficient condition for a graph to be Hamiltonian.

Characterisation of the cyclic behaviour of reinforced concrete elements with plain bars

Sismos recentes comprovam a elevada vulnerabilidade dos edifícios existentes de betão armado. A resposta das estruturas aos sismos é fortemente condicionada pelas características da aderência aço-betão, que exibe degradação das propriedades iniciais quando sujeitas a carregamentos cíclicos e alternados. Este fenómeno é ainda mais gravoso para elementos com armadura lisa, predominantes na maioria das estruturas construídas até à década de 70 nos países do sul da Europa. A prática corrente de conceção, dimensionamento e pormenorização das estruturas antigas leva a que tenham características de comportamento e níveis de segurança associados não compatíveis com as exigências atuais. Os estudos realizados sobre o comportamento cíclico de elementos estruturais de betão armado com armadura lisa são ainda insuficientes para a completa caracterização deste tipo de elementos. Esta tese visou a caraterização da relação tensão de aderência versus escorregamento para elementos estruturais com armadura lisa e o estudo da resposta cíclica de pilares e nós viga-pilar de betão armado com armadura lisa. Foram realizados dez séries de ensaios de arrancamento (nove monotónicos e um cíclico) em provetes com varões lisos. Os resultados destes ensaios permitiram propor novas expressões empíricas para a estimativa dos parâmetros usados num modelo disponível na literatura para representação da relação tensão de aderência versus escorregamento. É ainda proposto um novo modelo monotónico para a relação tensão de aderência versus escorregamento que representa melhor a resposta após a resistência máxima de aderência. Uma campanha de ensaios unidirecionais em pilares e nós viga-pilar foi também realizada com o objetivo principal de caracterizar o comportamento cíclico deste tipo de elementos. No total foram realizados oito ensaios em pilares, sete ensaios em nós viga-pilar interiores e seis ensaios em nós viga-pilar exteriores representativos de estruturas antigas de betão armado com armadura lisa. Os resultados experimentais permitiram avaliar a influência do escorregamento e estudar o mecanismo de corte em nós e a evolução dos danos para elementos com armadura lisa. Com base nos resultados experimentais foi proposta uma adaptação na expressão do Eurocódigo 8-3 para o cálculo da capacidade última de rotação de elementos com armadura lisa. Foi também desenvolvido um estudo paramétrico, com diferentes estratégias de modelação não linear, para a simulação da resposta de pilares considerando o escorregamento da armadura lisa. Por último, foi proposto um novo modelo simplificado trilinear para o aço que contempla o efeito do escorregamento da armadura lisa.