Geometric optimization on visibility problems: metaheuristic and exact solutions

Os problemas de visibilidade têm diversas aplicações a situações reais. Entre os mais conhecidos, e exaustivamente estudados, estão os que envolvem os conceitos de vigilância e ocultação em estruturas geométricas (problemas de vigilância e ocultação). Neste trabalho são estudados problemas de visibilidade em estruturas geométricas conhecidas como polígonos, uma vez que estes podem representar, de forma apropriada, muitos dos objectos reais e são de fácil manipulação computacional. O objectivo dos problemas de vigilância é a determinação do número mínimo de posições para a colocação de dispositivos num dado polígono, de modo a que estes dispositivos consigam “ver” a totalidade do polígono. Por outro lado, o objectivo dos problemas de ocultação é a determinação do número máximo de posições num dado polígono, de modo a que quaisquer duas posições não se consigam “ver”. Infelizmente, a maior parte dos problemas de visibilidade em polígonos são NP-difíceis, o que dá origem a duas linhas de investigação: o desenvolvimento de algoritmos que estabelecem soluções aproximadas e a determinação de soluções exactas para classes especiais de polígonos. Atendendo a estas duas linhas de investigação, o trabalho é dividido em duas partes. Na primeira parte são propostos algoritmos aproximados, baseados essencialmente em metaheurísticas e metaheurísticas híbridas, para resolver alguns problemas de visibilidade, tanto em polígonos arbitrários como ortogonais. Os problemas estudados são os seguintes: “Maximum Hidden Vertex Set problem”, “Minimum Vertex Guard Set problem”, “Minimum Vertex Floodlight Set problem” e “Minimum Vertex k-Modem Set problem”. São também desenvolvidos métodos que permitem determinar a razão de aproximação dos algoritmos propostos. Para cada problema são implementados os algoritmos apresentados e é realizado um estudo estatístico para estabelecer qual o algoritmo que obtém as melhores soluções num tempo razoável. Este estudo permite concluir que as metaheurísticas híbridas são, em geral, as melhores estratégias para resolver os problemas de visibilidade estudados. Na segunda parte desta dissertação são abordados os problemas “Minimum Vertex Guard Set”, “Maximum Hidden Set” e “Maximum Hidden Vertex Set”, onde são identificadas e estudadas algumas classes de polígonos para as quais são determinadas soluções exactas e/ou limites combinatórios.

A generalization of the Hoffman-Lovász upper bound on the independence number of a regular graph

A family of quadratic programming problems whose optimal values are upper bounds on the independence number of a graph is introduced. Among this family, the quadratic programming problem which gives the best upper bound is identified. Also the proof that the upper bound introduced by Hoffman and Lovász for regular graphs is a particular case of this family is given. In addition, some new results characterizing the class of graphs for which the independence number attains the optimal value of the above best upper bound are given. Finally a polynomial-time algorithm for approximating the size of the maximum independent set of an arbitrary graph is described and the computational experiments carried out on 36 DIMACS clique benchmark instances are reported.

Spectral characterization of families of split graphs

An upper bound for the sum of the squares of the entries of the principal eigenvector corresponding to a vertex subset inducing a k-regular subgraph is introduced and applied to the determination of an upper bound on the order of such induced subgraphs. Furthermore, for some connected graphs we establish a lower bound for the sum of squares of the entries of the principal eigenvector corresponding to the vertices of an independent set. Moreover, a spectral characterization of families of split graphs, involving its index and the entries of the principal eigenvector corresponding to the vertices of the maximum independent set is given. In particular, the complete split graph case is highlighted.

Relations between (κ, τ)-regular sets and star complements

Let G be a finite graph with an eigenvalue μ of multiplicity m. A set X of m vertices in G is called a star set for μ in G if μ is not an eigenvalue of the star complement G\X which is the subgraph of G induced by vertices not in X. A vertex subset of a graph is (k ,t)-regular if it induces a k -regular subgraph and every vertex not in the subset has t neighbors in it. We investigate the graphs having a (k,t)-regular set which induces a star complement for some eigenvalue. A survey of known results is provided and new properties for these graphs are deduced. Several particular graphs where these properties stand out are presented as examples.