Spectra and Laplacian spectra of arbitrary powers of lexicographic products of graphs

Consider two graphs G and H. Let H^k[G] be the lexicographic product of H^k and G, where H^k is the lexicographic product of the graph H by itself k times. In this paper, we determine the spectrum of H^k[G]H and H^k when G and H are regular and the Laplacian spectrum of H^k[G] and H^k for G and H arbitrary. Particular emphasis is given to the least eigenvalue of the adjacency matrix in the case of lexicographic powers of regular graphs, and to the algebraic connectivity and the largest Laplacian eigenvalues in the case of lexicographic powers of arbitrary graphs. This approach allows the determination of the spectrum (in case of regular graphs) and Laplacian spectrum (for arbitrary graphs) of huge graphs. As an example, the spectrum of the lexicographic power of the Petersen graph with the googol number (that is, 10^100 ) of vertices is determined. The paper finishes with the extension of some well known spectral and combinatorial invariant properties of graphs to its lexicographic powers.

Spectra of graphs obtained by a generalization of the join graph operation

Taking a Fiedler’s result on the spectrum of a matrix formed from two symmetric matrices as a motivation, a more general result is deduced and applied to the determination of adjacency and Laplacian spectra of graphs obtained by a generalized join graph operation on families of graphs (regular in the case of adjacency spectra and arbitrary in the case of Laplacian spectra). Some additional consequences are explored, namely regarding the largest eigenvalue and algebraic connectivity.

Origin, seasonality and chemical characteristics of rainwater in Aveiro

Este trabalho teve como objectivo caracterizar quimicamente a água da chuva recolhida na cidade de Aveiro, localizada a sudoeste da Europa, no período de Setembro de 2008 a Setembro de 2009. Para matrizes diluídas como a da água da chuva, as metodologias analíticas a utilizar para se conseguir uma rigorosa caracterização química são de grande importância e ainda não estão uniformizadas. Assim, para caracterizar a fracção orgânica, primeiramente foram comparadas duas metodologias de filtração (0.22 e 0.45 μm) e foram estudados dois procedimentos de preservação da água da chuva (refrigeração e congelação), utilizando a espectroscopia de fluorescência molecular. Além disso, foram comparados dois procedimentos de isolamento e extracção da matéria orgânica dissolvida (DOM) da água da chuva, baseados na sorção nos sorbentes DAX-8 e C-18, utilizando as espectroscopias de ultravioleta-visível e fluorescência molecular. Relativamente aos resultados das metodologias de filtração e preservação, é recomendada a filtração por 0.45 μm, assim como, as amostras de água da chuva deverão ser mantidas no escuro a 4ºC, no máximo até 4 dias, até às análises espectroscópicas. Relativamente à metodologia de isolamento e extracção da DOM, os resultados mostraram que o procedimento de isolamento baseado na C-18 extraiu a DOM que é representativa da matriz global, enquanto que o procedimento da DAX-8 extraiu preferencialmente a fracção do tipo húmico. Como no presente trabalho pretendíamos caracterizar a fracção do tipo húmico da DOM da água da chuva, foi escolhida a metodologia de isolamento e extracção baseada na sorção no sorvente DAX-8. Previamente ao isolamento e extracção da DOM da água da chuva, toda a fracção orgânica das amostras de água da chuva foi caracterizada pelas técnicas de ultravioleta-visível e de fluorescência molecular. As amostras mostraram características semelhantes às de outras águas naturais, e a água da chuva do Verão e Outono apresentou maior conteúdo da matéria orgânica dissolvida cromofórica que a do Inverno e Primavera. Posteriormente, a fracção do tipo húmico de algumas amostras de água da chuva, isolada e extraída pelo procedimento baseado na DAX-8, foi caracterizada utilizando as técnicas espectroscópicas de ultravioleta-visível, fluorescência molecular e ressonância magnética nuclear de protão. Todos os extractos continham uma mistura complexa de compostos hidroxilados e ácidos carboxílicos, com uma predominância da componente alifática e um baixo conteúdo da componente aromática. A fracção inorgânica da água da chuva foi caracterizada determinando a concentração das seguintes espécies iónicas: H+, NH4 +, Cl-, NO3 -, SO4 2-. Os resultados foram comparados com os obtidos na chuva colectada no mesmo local entre 1986-1989 e mostraram que de todos os iões determinados a concentração de NO3 - foi a única que aumentou (cerca do dobro) em 20 anos, tendo sido atribuído ao aumento de veículos e emissões industriais na área de amostragem. Durante o período de amostragem cerca de 80% da precipitação esteve associada a massas de ar oceânicas, enquanto a restante esteve relacionada com massas que tiveram uma influência antropogénica e terrestre. De um modo geral, para as fracções orgânica e inorgânica da água da chuva analisadas, o conteúdo químico foi menor para as amostras que estiveram associadas a massas de ar marítimas do que para as amostras que tiveram contribuições terrestres e antropogénicas.