Regularity of Wiener-Hopf plus Hankel operators

In this thesis we consider Wiener-Hopf-Hankel operators with Fourier symbols in the class of almost periodic, semi-almost periodic and piecewise almost periodic functions. In the first place, we consider Wiener-Hopf-Hankel operators acting between L2 Lebesgue spaces with possibly different Fourier matrix symbols in the Wiener-Hopf and in the Hankel operators. In the second place, we consider these operators with equal Fourier symbols and acting between weighted Lebesgue spaces Lp(R;w), where 1 < p < 1 and w belongs to a subclass of Muckenhoupt weights. In addition, singular integral operators with Carleman shift and almost periodic coefficients are also object of study. The main purpose of this thesis is to obtain regularity properties characterizations of those classes of operators. By regularity properties we mean those that depend on the kernel and cokernel of the operator. The main techniques used are the equivalence relations between operators and the factorization theory. An invertibility characterization for the Wiener-Hopf-Hankel operators with symbols belonging to the Wiener subclass of almost periodic functions APW is obtained, assuming that a particular matrix function admits a numerical range bounded away from zero and based on the values of a certain mean motion. For Wiener-Hopf-Hankel operators acting between L2-spaces and with possibly different AP symbols, criteria for the semi-Fredholm property and for one-sided and both-sided invertibility are obtained and the inverses for all possible cases are exhibited. For such results, a new type of AP factorization is introduced. Singular integral operators with Carleman shift and scalar almost periodic coefficients are also studied. Considering an auxiliar and simpler operator, and using appropriate factorizations, the dimensions of the kernels and cokernels of those operators are obtained. For Wiener-Hopf-Hankel operators with (possibly different) SAP and PAP matrix symbols and acting between L2-spaces, criteria for the Fredholm property are presented as well as the sum of the Fredholm indices of the Wiener-Hopf plus Hankel and Wiener-Hopf minus Hankel operators. By studying dependencies between different matrix Fourier symbols of Wiener-Hopf plus Hankel operators acting between L2-spaces, results about the kernel and cokernel of those operators are derived. For Wiener-Hopf-Hankel operators acting between weighted Lebesgue spaces, Lp(R;w), a study is made considering equal scalar Fourier symbols in the Wiener-Hopf and in the Hankel operators and belonging to the classes of APp;w, SAPp;w and PAPp;w. It is obtained an invertibility characterization for Wiener-Hopf plus Hankel operators with APp;w symbols. In the cases for which the Fourier symbols of the operators belong to SAPp;w and PAPp;w, it is obtained semi-Fredholm criteria for Wiener-Hopf-Hankel operators as well as formulas for the Fredholm indices of those operators.

A educação intercultural na formação contínua de professores de línguas

Situado entre o discurso investigativo e o profissional da Didática de Línguas, o presente estudo assenta: num entendimento da educação em línguas como um processo valorizador da diversidade linguística e cultural, tendo como fim último a promoção da intercompreensão e do diálogo intercultural, dentro dos pressupostos de uma didática das línguas e do plurilinguismo; na conceção do professor de línguas como um dos principais atores na educação de cidadãos / comunicadores interculturais, vendo-se, portanto, a braços com novas exigências, para as quais, muitas vezes, não se sente preparado; e nos pressupostos de que a identidade profissional condiciona fortemente a forma como o professor desempenha a sua ação didática, sendo este processo de se tornar professor contínuo e dependente, quer do sujeito-professor e dos seus percursos profissionais e formativos, quer do contexto (profissional, local, nacional, global) em que este se insere. Pretende-se, com este estudo, contribuir para que a educação intercultural seja uma realidade nas nossas escolas, potenciando a sua migração contextualizada dos documentos orientadores das políticas linguísticas e educativas nacionais e transnacionais e dos discursos da investigação em Didática de Línguas. Para o efeito, desenvolvemos um programa de investigação/formação denominado O Professor Intercultural, durante o ano letivo 2006/2007, com professores de línguas (materna e estrangeiras) de três escolas básicas e secundárias do distrito de Aveiro. Este programa integrava um curso (25 horas) e uma oficina (50 horas), ambas as ações de formação acreditadas pelo Conselho Científico-Pedagógico da Formação Contínua. Do ponto de vista formativo, com este programa pretendíamos levar as professoras em formação a desenvolver competências pessoais e profissionais que lhes permitissem gerir a diversidade nos seus contextos profissionais, tendo em vista o desenvolvimento nos seus alunos de uma competência de comunicação intercultural (CCI). Do ponto de vista investigativo, não só pretendíamos compreender as representações dos sujeitos relativamente à educação intercultural em geral e à CCI em particular; como também identificar princípios e estratégias de formação potenciadores do desenvolvimento de competências profissionais docentes para trabalhar a CCI, a partir das perspetivas dos próprios sujeitos. Trata-se, portanto, de um estudo de caso de cariz qualitativo e interpretativo / fenomenológico, com potencialidades heurísticas, que pretende evidenciar os sujeitos, as suas representações, as interações consigo e com os outros e a forma como conceptualizam a identidade profissional docente e as suas dinâmicas de desenvolvimento. Como instrumentos de recolha de dados, privilegiámos os Portefólios Profissionais que foram sendo construídos ao longo do percurso de formação; a sessão “Entre Línguas e Culturas” da plataforma Galanet (www.galanet.eu), recurso de formação no âmbito da oficina (entre fevereiro e maio de 2007); o “Diário do Investigador”; e as “entrevistas narrativas e de confrontação” efetuadas sensivelmente um ano após o final do programa de investigação/formação. Os resultados da análise de conteúdo revelam que os sujeitos consideram a CCI uma competência multidimensional e complexa, reconhecendo três componentes: afetiva (domínio do saber ser e saber viver com o outro), cognitiva (domínio do saber) e praxeológica (domínio do saber-fazer). A componente afetiva constitui, de acordo com os resultados, o motor de arranque do desenvolvimento desta competência, que, posteriormente, é alargada em dinâmicas de informação-(inter)ação-reflexão. Por outro lado, dada a grande pertinência que atribuem à abordagem intercultural e à urgência com que veem a sua integração escolar, os sujeitos consideram a CCI uma das competências inerentes à competência profissional docente, elemento integrador da identidade profissional, numa forte ligação com a missão ética e política que cada vez mais é associada ao docente (de línguas). Para além disso, percecionam o seu desenvolvimento profissional docente como um processo que os acompanha ao longo da vida, fruto das idiossincrasias e predisposições do próprio indivíduo, mas também das dinâmicas da sua formação, das caraterísticas dos contextos em que se movimenta e da colaboração com o Outro, no seu espaço profissional ou fora dele. Importa salientar que este desenvolvimento profissional é potenciado, segundo os nossos resultados, por propostas de formação assentes numa abordagem acional e reflexiva, articulando dinâmicas investigação-ação-reflexão como as propostas no nosso programa de formação, nomeadamente no âmbito da oficina. Neste quadro, concluímos o presente estudo, indicando alguns caminhos possíveis para a formação de professores de línguas para a educação intercultural.