Regularity of Wiener-Hopf plus Hankel operators

In this thesis we consider Wiener-Hopf-Hankel operators with Fourier symbols in the class of almost periodic, semi-almost periodic and piecewise almost periodic functions. In the first place, we consider Wiener-Hopf-Hankel operators acting between L2 Lebesgue spaces with possibly different Fourier matrix symbols in the Wiener-Hopf and in the Hankel operators. In the second place, we consider these operators with equal Fourier symbols and acting between weighted Lebesgue spaces Lp(R;w), where 1 < p < 1 and w belongs to a subclass of Muckenhoupt weights. In addition, singular integral operators with Carleman shift and almost periodic coefficients are also object of study. The main purpose of this thesis is to obtain regularity properties characterizations of those classes of operators. By regularity properties we mean those that depend on the kernel and cokernel of the operator. The main techniques used are the equivalence relations between operators and the factorization theory. An invertibility characterization for the Wiener-Hopf-Hankel operators with symbols belonging to the Wiener subclass of almost periodic functions APW is obtained, assuming that a particular matrix function admits a numerical range bounded away from zero and based on the values of a certain mean motion. For Wiener-Hopf-Hankel operators acting between L2-spaces and with possibly different AP symbols, criteria for the semi-Fredholm property and for one-sided and both-sided invertibility are obtained and the inverses for all possible cases are exhibited. For such results, a new type of AP factorization is introduced. Singular integral operators with Carleman shift and scalar almost periodic coefficients are also studied. Considering an auxiliar and simpler operator, and using appropriate factorizations, the dimensions of the kernels and cokernels of those operators are obtained. For Wiener-Hopf-Hankel operators with (possibly different) SAP and PAP matrix symbols and acting between L2-spaces, criteria for the Fredholm property are presented as well as the sum of the Fredholm indices of the Wiener-Hopf plus Hankel and Wiener-Hopf minus Hankel operators. By studying dependencies between different matrix Fourier symbols of Wiener-Hopf plus Hankel operators acting between L2-spaces, results about the kernel and cokernel of those operators are derived. For Wiener-Hopf-Hankel operators acting between weighted Lebesgue spaces, Lp(R;w), a study is made considering equal scalar Fourier symbols in the Wiener-Hopf and in the Hankel operators and belonging to the classes of APp;w, SAPp;w and PAPp;w. It is obtained an invertibility characterization for Wiener-Hopf plus Hankel operators with APp;w symbols. In the cases for which the Fourier symbols of the operators belong to SAPp;w and PAPp;w, it is obtained semi-Fredholm criteria for Wiener-Hopf-Hankel operators as well as formulas for the Fredholm indices of those operators.

A formação inicial percepcionada pelos professores cooperantes

Actualmente, a formação inicial de professores do 1º ciclo tem-se centrado na flexibilidade dos processos de trabalho, nas vertentes científica e técnica e no desenvolvimento de competências (Comissão Europeia, 2001), colocando-se ainda, no entanto, a tónica no conhecimento científico. O professor deve ser capaz de se adaptar aos diferentes contextos e funções a desempenhar e de resolver situações de grande imprevisibilidade e de grande indefinição. Será que a formação inicial de professores os prepara para um futuro próximo? Que futuro? “Tentarmos descrever o futuro, a partir do agora, significa que o que fizermos hoje será criticamente importante”, porque no futuro a formação inicial de professores será construída a partir do conhecimento básico, das ideias abstractas e das descobertas cientificas que fizermos hoje. “A base do modo como hoje, no século XXI, se formam professores está no que foi descoberto e legado nos anos 60, 70, 80, 90 do século XX”. Que fazemos hoje, agora mesmo, para contribuir para esse legado? Estamos convictos que muito de nada ou muito de pouco. O que alterar? Há quem pense que os professores do 1º ciclo não são analíticos. Talvez intuitivos, mas analíticos não. Ao aceitarmos esta dicotomia estamos a “atrapalhar” o futuro. Não somos apenas analíticos. Não somos apenas intuitivos. Na prática quotidiana, nas salas de aula, não usamos apenas as ferramentas diárias, usamos também a intuição e a análise. Uma análise baseada na teoria, enquanto manifestação do nosso esforço de expressar e partilhar, ou entender a nossa experiência, para influenciar o que nos é externo. Como “ensina” a formação inicial os futuros professores a trabalhar com os outros, para os outros? Todos temos um passado, um presente e um futuro em que nos formamos e que partilhamos uns com os outros, seja pela prática, seja pela teoria. Conceitos teóricos e práticos, como identidade, profissão, socialização profissional, práticas pedagógicas, formação inicial, instituição de formação, supervisão, relações pessoais e institucionais, representações sociais são conceitos construídos individual e socialmente, sempre em relação com os outros. Que percepção têm os professores cooperantes, detentores de uma turma de crianças do 1º ciclo, que “emprestam” aos futuros professores para desenvolverem a prática pedagógica da sua formação inicial, desta formação dada na instituição de formação? Foi o que pretendemos indagar com o presente trabalho. Do ponto de vista metodológico, o estudo foi desenvolvido segundo uma metodologia de natureza qualitativa, quantitativa e interpretativa que cruzou a informação recolhida através de diferentes instrumentos de recolha de dados, como as evocações livres e hierarquizadas, em contexto normal, e evocações hierarquizadas em contexto de substituição, um Teste de Reconhecimento do Objecto e um Questionário de Caracterização do Objecto. O tratamento dos dados foi feito com os programas SPSS, Excel, EVOC 2003 e SIMI. Participaram neste estudo 93 professores cooperantes. As conclusões mais genéricas apontam no sentido de confirmar os pressupostos adiantados no enquadramento teórico, quanto à hipótese da existência de um núcleo central e um sistema periférico, numa abordagem estruturalista das representações sociais, que parecem influenciar o modo como é percepcionada a formação inicial, pelos professores cooperantes.