Problems of optimal transportation on the circle and their mechanical applications

We consider a mechanical problem concerning a 2D axisymmetric body moving forward on the plane and making slow turns of fixed magnitude about its axis of symmetry. The body moves through a medium of non-interacting particles at rest, and collisions of particles with the body's boundary are perfectly elastic (billiard-like). The body has a blunt nose: a line segment orthogonal to the symmetry axis. It is required to make small cavities with special shape on the nose so as to minimize its aerodynamic resistance. This problem of optimizing the shape of the cavities amounts to a special case of the optimal mass transfer problem on the circle with the transportation cost being the squared Euclidean distance. We find the exact solution for this problem when the amplitude of rotation is smaller than a fixed critical value, and give a numerical solution otherwise. As a by-product, we get explicit description of the solution for a class of optimal transfer problems on the circle.

Exact and numerical solutions for diffusio-reaction equations with convection term

Esta dissertação estuda essencialmente dois problemas: (A) uma classe de equações unidimensionais de reacção-difusão-convecção em meios não uniformes (dependentes do espaço), e (B) um problema elíptico não-linear e paramétrico ligado a fenómenos de capilaridade. A Análise de Perturbação Singular e a dinâmica de Hamilton-Jacobi são utilizadas na obtenção de expressões assimptóticas para a solução (com comportamento de frente) e para a sua velocidade de propagação. Os seguintes três métodos de decomposição, Adomian Decomposition Method (ADM), Decomposition Method based on Infinite Products (DIP), e New Iterative Method (NIM), são apresentados e brevemente comparados. Adicionalmente, condições suficientes para a convergência da solução em série, obtida pelo ADM, e uma aplicação a um problema da Telecomunicações por Fibras Ópticas, envolvendo EDOs não-lineares designadas equações de Raman, são discutidas. Um ponto de vista mais abrangente que unifica os métodos de decomposição referidos é também apresentado. Para subclasses desta EDP são obtidas soluções numa forma explícita, para diferentes tipos de dados e usando uma variante do método de simetrias de Bluman-Cole. Usando Teoria de Pontos Críticos (o teorema usualmente designado mountain pass) e técnicas de truncatura, prova-se a existência de duas soluções não triviais (uma positiva e uma negativa) para o problema elíptico não-linear e paramétrico (B). A existência de uma terceira solução não trivial é demonstrada usando Grupos Críticos e Teoria de Morse.