O desenvolvimento do raciocínio dedutivo ao nível do ensino secundário : recurso a geometrias planas

Este trabalho, no âmbito da Didáctica da Matemática, foca-se no estudo de abordagens alternativas de ensino e aprendizagem da Geometria Euclidiana, no Ensino Secundário, no sentido de promover níveis estruturados do pensamento matemático. Em particular, as potencialidades do recurso a outros modelos de Geometria Plana (e.g. Geometria Hiperbólica, Geometria do Motorista de Táxi) em relação a este problema serão investigadas. A opção pelo Ensino Secundário deve-se ao facto de se tratar de um nível de ensino onde se regista uma elevada taxa de insucesso escolar (especialmente no 10º ano) e onde é notório o abismo existente, entre o ensino Secundário e Universitário, no âmbito do raciocínio lógico - dedutivo. O trabalho a desenvolver pretende aprofundar o estudo de questões ligadas à natureza do conhecimento envolvido que estarão na base de decisões, tais como: Quais os processos que vão ser ensinados? Que processos queremos que os alunos dominem? E, por outro lado, ter em conta que se pretende desenvolver capacidades de ordem superior, significando que o ensino da Matemática deve dirigir-se para níveis elevados de pensamento, tais como: resolução de problemas; comunicar matematicamente; raciocínio e demonstração. No currículo de matemática para o Ensino Básico e Secundário tem-se negligenciado a demonstração matemática, contribuindo para que exista uma desconformidade entre os graus de ensino, secundário e universitário. Muitas vezes as abordagens de ensino centram-se na verificação de resultados e desvalorizam a exploração e explicação (Villiers, 1998). Actualmente, assiste-se a uma tendência para retomar o raciocínio lógico - dedutivo. O principal objectivo desta investigação é analisar ambientes de aprendizagem em que os alunos sejam solicitados a resolver problemas de prova em contextos diversificados e, de uma forma mais geral promover o desenvolvimento do raciocínio dedutivo e uma visão mais alargada do conhecimento matemático. Em particular, a abordagem de problemas de prova num contexto de geometria não Euclidiana, com recurso a artefactos e a software de geometria dinâmica, será investigada.

Besov spaces and the Laplacian on fractal H-sets

Nesta tese são estudados espaços de Besov de suavidade generalizada em espaços euclidianos, numa classe de fractais designados conjuntos-h e em estruturas abstractas designadas por espaços-h. Foram obtidas caracterizações e propriedades para estes espaços de funções. Em particular, no caso de espaços de Besov em espaços euclidianos, foram obtidas caracterizações por diferenças e por decomposições em átomos não suaves, foi provada uma propriedade de homogeneidade e foram estudados multiplicadores pontuais. Para espaços de Besov em conjuntos-h foi obtida uma caracterização por decomposições em átomos não suaves e foi construído um operador extensão. Com o recurso a cartas, os resultados obtidos para estes espaços de funções em fractais foram aplicados para definir e trabalhar com espaços de Besov de suavidade generalizada em estruturas abstractas. Nesta tese foi também estudado o laplaciano fractal, considerado a actuar em espaços de Besov de suavidade generalizada em domínios que contêm um conjunto-h fractal. Foram obtidos resultados no contexto de teoria espectral para este operador e foi estudado, à custa deste operador, um problema de Dirichlet fractal no contexto de conjuntos-h.

The notion of space in urban housing markets

O mercado imobiliário tem um papel importante nas economias modernas, tanto a nível macro como a nível micro. Ao nível macro, a construção de habitação representa um sector importante e influente na economia, com efeitos multiplicadores significativos sobre a produção e o emprego. Ao nível micro, uma residência representa o activo mais valioso da maioria dos indivíduos e uma parcela muito relevante da riqueza das famílias. Para estas, o custo e a qualidade das suas habitações influencia directa e indirectamente a sua qualidade de vida. A habitação é por isso mesmo um tema, que avaliado nas suas múltiplas dimensões, se caracteriza por ser bastante complexo, mas também ao mesmo tempo desafiante. De modo a delimitar o objecto de análise do trabalho de investigação, esta tese realça os aspectos de localização e distribuição espacial das habitações urbanas. Será desenvolvido um quadro conceptual e respectiva metodologia para a compreender a estrutura espacial da habitação urbana realçando os três aspectos fundamentais da análise espacial: heterogenidade espacial, dependência espacial e escala espacial. A metodologia, aplicada à área urbana de Aveiro e Ílhavo é baseada numa análise hedónica factorial de preços e na noção não geométrica do espaço. Primeiro, é fixada uma escala territorial e são definidos submercados habitacional. Posteriormente, quer a heterogeneidade quer a dependência espaciais são estudados utilizando métodos econométricos, sem considerar qualquer padrão fixo e conhecido de interações espaciais. Em vez disso, são desenvolvidos novos métodos,tendo como base o modelo hedónico factorial, para inferir sobre os potenciais drivers de difusão espacial no valor de uma habitação. Este modelo, foi aplicado a duas diferentes escalas espaciais, para compreender as preferências dos indivíduos em Aveiro ao escolher os seus locais de residencia, e como estas afectam os preços da habitação. O trabalho empírico, utilizando duas bases de dados de habitação distintas, aplicadas ao mercado de habitação de Aveiro mostram: i) em linha com a literatura, a dificuldade de definir submercados e compreender as inter-relações entre esses mercados; ii) a utilidade de uma abordagem híbrida, combinando análise factorial com regressão; iii) a importância fundamental que o efeito escala espacial desempenha no estudo da heterogeneidade e dos spillovers e, finalmente, iv) uma metodologia inovadora para analisar spillovers sem assumir aprioristicamente uma estrutura espacial específica de difusão espacial. Esta metodologia considera a matriz de pesos espaciais (W) desconhecida e estimatima as interações espaciais dentro e entre submercados habitação.

Interacting agents on complex networks and stochastic processes in them

Nas últimas décadas, um grande número de processos têm sido descritos em termos de redes complexas. A teoria de redes complexas vem sendo utilizada com sucesso para descrever, modelar e caracterizar sistemas naturais, artificias e sociais, tais como ecossistemas, interações entre proteínas, a Internet, WWW, até mesmo as relações interpessoais na sociedade. Nesta tese de doutoramento apresentamos alguns modelos de agentes interagentes em redes complexas. Inicialmente, apresentamos uma breve introdução histórica (Capítulo 1), seguida de algumas noções básicas sobre redes complexas (Capítulo 2) e de alguns trabalhos e modelos mais relevantes a esta tese de doutoramento (Capítulo 3). Apresentamos, no Capítulo 4, o estudo de um modelo de dinâmica de opiniões, onde busca-se o consenso entre os agentes em uma população, seguido do estudo da evolução de agentes interagentes em um processo de ramificação espacialmente definido (Capítulo 5). No Capítulo 6 apresentamos um modelo de otimização de fluxos em rede e um estudo do surgimento de redes livres de escala a partir de um processo de otimização . Finalmente, no Capítulo 7, apresentamos nossas conclusões e perspectivas futuras.

Spectra of graphs obtained by a generalization of the join graph operation

Taking a Fiedler’s result on the spectrum of a matrix formed from two symmetric matrices as a motivation, a more general result is deduced and applied to the determination of adjacency and Laplacian spectra of graphs obtained by a generalized join graph operation on families of graphs (regular in the case of adjacency spectra and arbitrary in the case of Laplacian spectra). Some additional consequences are explored, namely regarding the largest eigenvalue and algebraic connectivity.

Compressive sensing in Clifford analysis

Compressed sensing is a new paradigm in signal processing which states that for certain matrices sparse representations can be obtained by a simple l1-minimization. In this thesis we explore this paradigm for higher-dimensional signal. In particular three cases are being studied: signals taking values in a bicomplex algebra, quaternionic signals, and complex signals which are representable by a nonlinear Fourier basis, a so-called Takenaka-Malmquist system.