Resultados espectrais relacionados com a estrutura dos grafos

Nesta tese são estabelecidas novas propriedades espectrais de grafos com estruturas específicas, como sejam os grafos separados em cliques e independentes e grafos duplamente separados em independentes, ou ainda grafos com conjuntos (κ,τ)-regulares. Alguns invariantes dos grafos separados em cliques e independentes são estudados, tendo como objectivo limitar o maior valor próprio do espectro Laplaciano sem sinal. A técnica do valor próprio é aplicada para obter alguns majorantes e minorantes do índice do espectro Laplaciano sem sinal dos grafos separados em cliques e independentes bem como sobre o índice dos grafos duplamente separados em independentes. São fornecidos alguns resultados computacionais de modo a obter uma melhor percepção da qualidade desses mesmos extremos. Estudamos igualmente os grafos com um conjunto (κ,τ)-regular que induz uma estrela complementar para um valor próprio não-principal $. Além disso, é mostrado que $=κ-τ. Usando uma abordagem baseada nos grafos estrela complementares construímos, em alguns casos, os respectivos grafos maximais. Uma caracterização dos grafos separados em cliques e independentes que envolve o índice e as entradas do vector principal é apresentada tal como um majorante do número da estabilidade dum grafo conexo.