Exact and numerical solutions for diffusio-reaction equations with convection term

Esta dissertação estuda essencialmente dois problemas: (A) uma classe de equações unidimensionais de reacção-difusão-convecção em meios não uniformes (dependentes do espaço), e (B) um problema elíptico não-linear e paramétrico ligado a fenómenos de capilaridade. A Análise de Perturbação Singular e a dinâmica de Hamilton-Jacobi são utilizadas na obtenção de expressões assimptóticas para a solução (com comportamento de frente) e para a sua velocidade de propagação. Os seguintes três métodos de decomposição, Adomian Decomposition Method (ADM), Decomposition Method based on Infinite Products (DIP), e New Iterative Method (NIM), são apresentados e brevemente comparados. Adicionalmente, condições suficientes para a convergência da solução em série, obtida pelo ADM, e uma aplicação a um problema da Telecomunicações por Fibras Ópticas, envolvendo EDOs não-lineares designadas equações de Raman, são discutidas. Um ponto de vista mais abrangente que unifica os métodos de decomposição referidos é também apresentado. Para subclasses desta EDP são obtidas soluções numa forma explícita, para diferentes tipos de dados e usando uma variante do método de simetrias de Bluman-Cole. Usando Teoria de Pontos Críticos (o teorema usualmente designado mountain pass) e técnicas de truncatura, prova-se a existência de duas soluções não triviais (uma positiva e uma negativa) para o problema elíptico não-linear e paramétrico (B). A existência de uma terceira solução não trivial é demonstrada usando Grupos Críticos e Teoria de Morse.

Existence results for elliptic equations with singular terms

Esta dissertação estuda em detalhe três problemas elípticos: (I) uma classe de equações que envolve o operador Laplaciano, um termo singular e nãolinearidade com o exponente crítico de Sobolev, (II) uma classe de equações com singularidade dupla, o expoente crítico de Hardy-Sobolev e um termo côncavo e (III) uma classe de equações em forma divergente, que envolve um termo singular, um operador do tipo Leray-Lions, e uma função definida nos espaços de Lorentz. As não-linearidades consideradas nos problemas (I) e (II), apresentam dificuldades adicionais, tais como uma singularidade forte no ponto zero (de modo que um "blow-up" pode ocorrer) e a falta de compacidade, devido à presença do exponente crítico de Sobolev (problema (I)) e Hardy-Sobolev (problema (II)). Pela singularidade existente no problema (III), a definição padrão de solução fraca pode não fazer sentido, por isso, é introduzida uma noção especial de solução fraca em subconjuntos abertos do domínio. Métodos variacionais e técnicas da Teoria de Pontos Críticos são usados para provar a existência de soluções nos dois primeiros problemas. No problema (I), são usadas uma combinação adequada de técnicas de Nehari, o princípio variacional de Ekeland, métodos de minimax, um argumento de translação e estimativas integrais do nível de energia. Neste caso, demonstramos a existência de (pelo menos) quatro soluções não triviais onde pelo menos uma delas muda de sinal. No problema (II), usando o método de concentração de compacidade e o teorema de passagem de montanha, demostramos a existência de pelo menos duas soluções positivas e pelo menos um par de soluções com mudança de sinal. A abordagem do problema (III) combina um resultado de surjectividade para operadores monótonos, coercivos e radialmente contínuos com propriedades especiais do operador de tipo Leray- Lions. Demonstramos assim a existência de pelo menos, uma solução no espaço de Lorentz e obtemos uma estimativa para esta solução.

On (p, q) − equations with concave terms

We consider a (p, q)− equation (1 < q < p, p ≥ 2) with a parametric concave term and a (p − 1)− linear perturbation. We show that the problem have five nontrivial smooth solutions: four of constant sign and the fifth nodal. When q = 2 (i.e., (p, 2) equation) we show that the problem has six nontrivial smooth solutions, but we do not specify the sign of the sixth solution. Our approach uses variational methods, together with truncation and comparison techniques and Morse theory.

Fractional differential equations with dependence on the Caputo-Katugampola derivative

In this paper we present a new type of fractional operator, the Caputo–Katugampola derivative. The Caputo and the Caputo–Hadamard fractional derivatives are special cases of this new operator. An existence and uniqueness theorem for a fractional Cauchy type problem, with dependence on the Caputo–Katugampola derivative, is proven. A decomposition formula for the Caputo–Katugampola derivative is obtained. This formula allows us to provide a simple numerical procedure to solve the fractional differential equation.

A study of singular integral operators with shift

Nesta tese, consideram-se operadores integrais singulares com a acção extra de um operador de deslocacamento de Carleman e com coeficientes em diferentes classes de funções essencialmente limitadas. Nomeadamente, funções contínuas por troços, funções quase-periódicas e funções possuíndo factorização generalizada. Nos casos dos operadores integrais singulares com deslocamento dado pelo operador de reflexão ou pelo operador de salto no círculo unitário complexo, obtêm-se critérios para a propriedade de Fredholm. Para os coeficientes contínuos, uma fórmula do índice de Fredholm é apresentada. Estes resultados são consequência das relações de equivalência explícitas entre aqueles operadores e alguns operadores adicionais, tais como o operador integral singular, operadores de Toeplitz e operadores de Toeplitz mais Hankel. Além disso, as relações de equivalência permitem-nos obter um critério de invertibilidade e fórmulas para os inversos laterais dos operadores iniciais com coeficientes factorizáveis. Adicionalmente, aplicamos técnicas de análise numérica, tais como métodos de colocação de polinómios, para o estudo da dimensão do núcleo dos dois tipos de operadores integrais singulares com coeficientes contínuos por troços. Esta abordagem permite também a computação do inverso no sentido Moore-Penrose dos operadores principais. Para operadores integrais singulares com operadores de deslocamento do tipo Carleman preservando a orientação e com funções contínuas como coeficientes, são obtidos limites superiores da dimensão do núcleo. Tal é implementado utilizando algumas estimativas e com a ajuda de relações (explícitas) de equivalência entre operadores. Focamos ainda a nossa atenção na resolução e nas soluções de uma classe de equações integrais singulares com deslocamento que não pode ser reduzida a um problema de valor de fronteira binomial. De forma a atingir os objectivos propostos, foram utilizadas projecções complementares e identidades entre operadores. Desta forma, as equações em estudo são associadas a sistemas de equações integrais singulares. Estes sistemas são depois analisados utilizando um problema de valor de fronteira de Riemann. Este procedimento tem como consequência a construção das soluções das equações iniciais a partir das soluções de problemas de valor de fronteira de Riemann. Motivados por uma grande diversidade de aplicações, estendemos a definição de operador integral de Cauchy para espaços de Lebesgue sobre grupos topológicos. Assim, são investigadas as condições de invertibilidade dos operadores integrais neste contexto.

Modeling some real phenomena by fractional differential equations

This paper deals with fractional differential equations, with dependence on a Caputo fractional derivative of real order. The goal is to show, based on concrete examples and experimental data from several experiments, that fractional differential equations may model more efficiently certain problems than ordinary differential equations. A numerical optimization approach based on least squares approximation is used to determine the order of the fractional operator that better describes real data, as well as other related parameters.

High-resolution seismic reflection investigation of gas accumulation and seepage in the tidal channels of the Ria of Aveiro barrier lagoon (Portugal)

O metano é um gás de estufa potente e uma importante fonte de energia. A importância global e impacto em zonas costeiras de acumulações e escape de gás metano são ainda pouco conhecidas. Esta tese investiga acumulações e escape de gás em canais de maré da Ria de Aveiro com dados de cinco campanhas de reflexão sísmica de alta resolução realizadas em 1986, 1999, 2002 e 2003. Estas incluem três campanhas de Chirp (RIAV99, RIAV02 e RIAV02A) e duas campanhas de Boomer (VOUGA86 e RIAV03). O processamento dos dados de navegação incluíram filtros de erros, correcções de sincronização de relógios de sistemas de aquisição de dados, ajuste de “layback” e estimativa da posição de “midpoint”. O processamento do sinal sísmico consistiu na correcção das amplitudes, remoção de ruído do tipo “burst”, correcções estáticas, correcção do “normal move-out”, filtragem passabanda, desconvolução da assinatura e migração Stolt F-K. A análise da regularidade do trajecto de navegação, dos desfasamentos entre horizontes e dos modelos de superfícies foi utilizada para controlo de qualidade, e permitiu a revisão e melhoria dos parâmetros de processamento. A heterogeneidade da cobertura sísmica, da qualidade do sinal, da penetração e da resolução, no seu conjunto constrangeram o uso dos dados a interpretações detalhadas, mas locais, de objectos geológicos da Ria. É apresentado um procedimento para determinar a escolha de escalas adequadas para modelar os objectos geológicos, baseado na resolução sísmica, erros de posicionamento conhecidos e desfasamentos médios entre horizontes. As evidências de acumulação e escape de gás na Ria de Aveiro incluem turbidez acústica, reflexões reforçadas, cortinas acústicas, domas, “pockmarks” e alinhamentos de “pockmarks” enterradas, horizontes perturbados e plumas acústicas na coluna de água (flares). A estratigrafia e a estrutura geológica controlam a distribuição e extensão das acumulações e escape de gás. Ainda assim, nestes sistemas de baixa profundidade de água, as variações da altura de maré têm um impacto significativo na detecção de gás com métodos acústicos, através de alterações nas amplitudes originais de reflexões reforçadas, turbidez acústica e branqueamento acústico em zonas com gás. Os padrões encontrados confirmam que o escape de bolhas de gás é desencadeado pela descida da maré. Há acumulações de gás em sedimentos Holocénicos e no substrato de argilas e calcários do Mesozóico. Evidências directas de escape de gás em sondagens em zonas vizinhas, mostraram gás essencialmente biogénico. A maioria do gás na área deve ter sido gerado em sedimentos lagunares Holocénicos. No entanto, a localização e geometria de estruturas de escape de fluidos em alguns canais de maré, seguem o padrão de fracturas do substrato Mesozóico, indicando uma possível fonte mais profunda de gás e que estas fracturas funcionam como condutas preferenciais de migração dos fluidos e exercem um controlo estrutural na ocorrência de gás na Ria.

Multiplicity results for some classes of Schrödinger-Poisson systems

In this thesis, we study the existence and multiplicity of solutions of the following class of Schr odinger-Poisson systems: u + u + l(x) u = (x; u) in R3; = l(x)u2 in R3; where l 2 L2(R3) or l 2 L1(R3). And we consider that the nonlinearity satis es the following three kinds of cases: (i) a subcritical exponent with (x; u) = k(x)jujp 2u + h(x)u (4 p < 2 ) under an inde nite case; (ii) a general inde nite nonlinearity with (x; u) = k(x)g(u) + h(x)u; (iii) a critical growth exponent with (x; u) = k(x)juj2 2u + h(x)jujq 2u (2 q < 2 ). It is worth mentioning that the thesis contains three main innovations except overcoming several di culties, which are generated by the systems themselves. First, as an unknown referee said in his report, we are the rst authors concerning the existence of multiple positive solutions for Schr odinger- Poisson systems with an inde nite nonlinearity. Second, we nd an interesting phenomenon in Chapter 2 and Chapter 3 that we do not need the condition R R3 k(x)ep 1dx < 0 with an inde nite noncoercive case, where e1 is the rst eigenfunction of +id in H1(R3) with weight function h. A similar condition has been shown to be a su cient and necessary condition to the existence of positive solutions for semilinear elliptic equations with inde nite nonlinearity for a bounded domain (see e.g. Alama-Tarantello, Calc. Var. PDE 1 (1993), 439{475), or to be a su cient condition to the existence of positive solutions for semilinear elliptic equations with inde nite nonlinearity in RN (see e.g. Costa-Tehrani, Calc. Var. PDE 13 (2001), 159{189). Moreover, the process used in this case can be applied to study other aspects of the Schr odinger-Poisson systems and it gives a way to study the Kirchho system and quasilinear Schr odinger system. Finally, to get sign changing solutions in Chapter 5, we follow the spirit of Hirano-Shioji, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 137 (2007), 333, but the procedure is simpler than that they have proposed in their paper.

Characterization of RSOA modulators in radio over fiber links

In this work physical and behavioral models for a bulk Reflective Semiconductor Optical Amplifier (RSOA) modulator in Radio over Fiber (RoF) links are proposed. The transmission performance of the RSOA modulator is predicted under broadband signal drive. At first, the simplified physical model for the RSOA modulator in RoF links is proposed, which is based on the rate equation and traveling-wave equations with several assumptions. The model is implemented with the Symbolically Defined Devices (SDD) in Advanced Design System (ADS) and validated with experimental results. Detailed analysis regarding optical gain, harmonic and intermodulation distortions, and transmission performance is performed. The distribution of the carrier and Amplified Spontaneous Emission (ASE) is also demonstrated. Behavioral modeling of the RSOA modulator is to enable us to investigate the nonlinear distortion of the RSOA modulator from another perspective in system level. The Amplitude-to-Amplitude Conversion (AM-AM) and Amplitude-to-Phase Conversion (AM-PM) distortions of the RSOA modulator are demonstrated based on an Artificial Neural Network (ANN) and a generalized polynomial model. Another behavioral model based on Xparameters was obtained from the physical model. Compensation of the nonlinearity of the RSOA modulator is carried out based on a memory polynomial model. The nonlinear distortion of the RSOA modulator is reduced successfully. The improvement of the 3rd order intermodulation distortion is up to 17 dB. The Error Vector Magnitude (EVM) is improved from 6.1% to 2.0%. In the last part of this work, the performance of Fibre Optic Networks for Distributed and Extendible Heterogeneous Radio Architectures and Service Provisioning (FUTON) systems, which is the four-channel virtual Multiple Input Multiple Output (MIMO), is predicted by using the developed physical model. Based on Subcarrier Multiplexing (SCM) techniques, four-channel signals with 100 MHz bandwidth per channel are generated and used to drive the RSOA modulator. The transmission performance of the RSOA modulator under the broadband multi channels is depicted with the figure of merit, EVM under di erent adrature Amplitude Modulation (QAM) level of 64 and 254 for various number of Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM) subcarriers of 64, 512, 1024 and 2048.