A Caputo fractional derivative of a function with respect to another function

In this paper we consider a Caputo type fractional derivative with respect to another function. Some properties, like the semigroup law, a relationship between the fractional derivative and the fractional integral, Taylor’s Theorem, Fermat’s Theorem, etc., are studied. Also, a numerical method to deal with such operators, consisting in approximating the fractional derivative by a sum that depends on the first-order derivative, is presented. Relying on examples, we show the efficiency and applicability of the method. Finally, an application of the fractional derivative, by considering a Population Growth Model, and showing that we can model more accurately the process using different kernels for the fractional operator is provided.

Materiais à base de Sr(Ti,Nb)O3 para sensores lambda

Os sensores lambda resistivos possuem as vantagens de simplicidade e menor custo relativamente à utilização generalizada de sensores potenciométricos de oxigénio. Nesse sentido, os titanatos de estrôncio têm sido alvo de diversos estudos. Para a produção de uma relação inequívoca entre a condutividade destes materiais e a pressão parcial de oxigénio é necessária a adição de um dopante dador que suprime a condução eletrónica do tipo-p na região de pressões parciais de oxigénio próximas de ar. Contudo, a adição de um dopante dador produz respostas lentas destes materiais quando densos a variações da pressão parcial de oxigénio. Além da preparação usual dos pós por reação do estado sólido, foram preparadas diversas composições por mecanossíntese. Tal relaciona-se com o fato exaustivamente reportado de as amostras destes materiais, especialmente quando dopados com dadores, apresentarem comportamentos dependentes das condições de processamento. Teve ainda o intuito de avaliar a viabilidade da sua preparação por este método, e consequentemente verificar se este método de preparação, que presumivelmente produzirá pós com composição mais homogénea e mais reativos, permite alterar/manipular a resposta obtida por amostras com eles produzidas. Foram preparados diversos filmes, tipologia muito usada na produção de sensores resistivos, e amostras porosas com diversas composições à base de titanato de estrôncio produzidos com variadas condições de processamento. Foram realizadas diversas caracterizações sobre estes espécimes numa tentativa de melhor compreender as propriedades destes materiais e a dependência destas com parâmetros microestruturais como o tamanho de grão e a porosidade. Foi verificado que os exemplares de titanato de estrôncio não dopado, quer em filmes quer em amostras porosas, apresentam um comportamento elétrico semelhante ao apresentado por amostras densas deste material. Apurou-se ainda, que as suas características apresentam uma variação ténue com a alteração das condições de processamento. Já espécimes de titanato de estrôncio dopados com dador revelam uma forte dependência das suas propriedades com as condições de processamento utilizadas, nomeadamente, a temperatura de sinterização e o tempo de permanência a essa temperatura. Para o fabrico de sensores resistivos de oxigénio poderá ser preferível o recurso a amostras porosas pelo facto de mais facilmente se manipularem as suas características microestruturais e devido à exclusão dos problemas associados à interação entre o substrato de alumina e o filme. As composições não dopadas são as indicadas para esta função se a gama de pressões de oxigénio a avaliar for relativamente pouco extensa sendo aconselhadas as composições dopadas com dador se for pretendida uma medição da pressão parcial de oxigénio em zonas mais extensas correspondentes à queima com deficiência ou excesso de oxigénio. Mesmo em amostras de elevada porosidade poderá ocorrer resposta transiente do material dopado com dador.

An extreme planetary system around HD 219828: one long-period super Jupiter to a hot-Neptune host star

Context. With about 2000 extrasolar planets confirmed, the results show that planetary systems have a whole range of unexpected properties. This wide diversity provides fundamental clues to the processes of planet formation and evolution. Aims: We present a full investigation of the HD 219828 system, a bright metal-rich star for which a hot Neptune has previously been detected. Methods: We used a set of HARPS, SOPHIE, and ELODIE radial velocities to search for the existence of orbiting companions to HD 219828. The spectra were used to characterise the star and its chemical abundances, as well as to check for spurious, activity induced signals. A dynamical analysis is also performed to study the stability of the system and to constrain the orbital parameters and planet masses. Results: We announce the discovery of a long period (P = 13.1 yr) massive (m sini = 15.1 MJup) companion (HD 219828 c) in a very eccentric orbit (e = 0.81). The same data confirms the existence of a hot Neptune, HD 219828 b, with a minimum mass of 21 M⊕ and a period of 3.83 days. The dynamical analysis shows that the system is stable, and that the equilibrium eccentricity of planet b is close to zero. Conclusions: The HD 219828 system is extreme and unique in several aspects. First, ammong all known exoplanet systems it presents an unusually high mass ratio. We also show that systems like HD 219828, with a hot Neptune and a long-period massive companion are more frequent than similar systems with a hot Jupiter instead. This suggests that the formation of hot Neptunes follows a different path than the formation of their hot jovian counterparts. The high mass, long period, and eccentricity of HD 219828 c also make it a good target for Gaia astrometry as well as a potential target for atmospheric characterisation, using direct imaging or high-resolution spectroscopy. Astrometric observations will allow us to derive its real mass and orbital configuration. If a transit of HD 219828 b is detected, we will be able to fully characterise the system, including the relative orbital inclinations. With a clearly known mass, HD 219828 c may become a benchmark object for the range in between giant planets and brown dwarfs.

Is the activity level of HD 80606 influenced by its eccentric planet?

Aims: Several studies suggest that the activity level of a planet-host star can be influenced by the presence of a close-by orbiting planet. Moreover, the interaction mechanisms that have been proposed, magnetic interaction and tidal interaction, exhibit a very different dependence on the orbital separation between the star and the planet. A detection of activity enhancement and characterization of its dependence on planetary orbital distance can, in principle, allow us to characterize the physical mechanism behind the activity enhancement. Methods: We used the HARPS-N spectrograph to measure the stellar activity level of HD 80606 during the planetary periastron passage and compared the activity measured to that close to apastron. Being characterized by an eccentricity of 0.93 and an orbital period of 111 days, the system's extreme variation in orbital separation makes it a perfect target to test our hypothesis. Results: We find no evidence for a variation in the activity level of the star as a function of planetary orbital distance, as measured by all activity indicators employed: log(R'HK), Hα, NaI, and HeI. None of the models employed, whether magnetic interaction or tidal interaction, provides a good description of the data. The photometry revealed no variation either, but it was strongly affected by poor weather conditions. Conclusions: We find no evidence for star-planet interaction in HD 80606 at the moment of the periastron passage of its very eccentric planet. The straightforward explanation for the non-detection is the absence of interaction as a result of a low magnetic field strength on either the planet or the star and of the low level of tidal interaction between the two. However, we cannot exclude two scenarios: i) the interaction can be instantaneous and of magnetic origin, being concentrated on the substellar point and its surrounding area; and ii) the interaction can lead to a delayed activity enhancement. In either scenario, a star-planet interaction would not be detectable with the dataset described in this paper.