Calculus of variations on time scales and discrete fractional calculus

Estudamos problemas do cálculo das variações e controlo óptimo no contexto das escalas temporais. Especificamente, obtemos condições necessárias de optimalidade do tipo de Euler–Lagrange tanto para lagrangianos dependendo de derivadas delta de ordem superior como para problemas isoperimétricos. Desenvolvemos também alguns métodos directos que permitem resolver determinadas classes de problemas variacionais através de desigualdades em escalas temporais. No último capítulo apresentamos operadores de diferença fraccionários e propomos um novo cálculo das variações fraccionário em tempo discreto. Obtemos as correspondentes condições necessárias de Euler– Lagrange e Legendre, ilustrando depois a teoria com alguns exemplos.

Soil function and biodiversity: regional variations and climate changes

Embora o objetivo principal da proteção internacional dos solos seja proteger tanto as funções quanto a estrutura do solo, a atual abordagem trata principalmente da proteção ao nível estrutural. Há uma carência de estudos que contemplem a ligação das funções do solo com os níveis da comunidade. Além disso, é ainda desconhecido se as variáveis ambientais (ex: tipos de solo, condições climáticas) atuam nas funções do solo da mesma maneira que influenciam sua estrutura biológica. Ademais, as alterações climáticas poderão ter sozinhas ou combinadas com os poluentes, um grande efeito nos ecossistemas terrestres. O presente trabalho propõe estudar as funções e a estrutura biológica do solo quando impactados devido a estresse tóxico (poluição por Cu) e/ou alterações a fatores como a temperatura e abundância de organismos, de maneira a simular possíveis variações regionais ou climáticas. Para alcançar os objetivos principais 3 experiências utilizando diferentes densidades de E. crypticus e 2 gerações foram feitas (Capítulos II e III). Duas experiências com mesocosmos (SMS) decorreram durante 3 meses sob uma gama de diversas temperaturas (10 – 29°C), que representam temperaturas médias para Portugal e Dinamarca (Capítulos IV e V). Duas experiências de campo também foram realizadas com intuito de validar os SMSs (Capítulo VI). Resultados demonstraram que os efeitos do Cu na reprodução dos enquitraídeos dependem da densidade inicial de organismos, especialmente na 2ª geração. Entretanto, nos SMSs expostos a Cu, a densidade inicial é menos importante nos resultados finais. O aumento da temperatura alterou majoritariamente a fase inicial de crescimento populacional. Em períodos mais longos, a abundância estabilizou tornando-se menos influenciada pelas temperaturas. Períodos longos de exposição reforçaram os efeitos da temperatura, como por ex: diversas espécies foram similarmente afetadas a 29 ou 26°C quando expostas durante 28 ou 61 dias respectivamente. De forma geral, o Cu reduziu a abundância da maioria das espécies ao longo do tempo, com poucas exceções. Os resultados da decomposição da matéria orgânica (MO) e atividade alimentar associaram-se com a abundância de organismos em baixas temperaturas (10-23°C). Entretanto, com o aumento das temperaturas (19-29°C), este comportamento não foi claro e a abundância de espécies e atividade alimentar diminuíram enquanto a decomposição da MO aumentou. Além disso, os resultados observados nos SMSs foram confirmados no campo. Mais especificamente, alterações ocorreram na fase de crescimento (correspondente à Primavera) e a exposição ao Cu diminuiu os efeitos da temperatura. Metodologias mais complexas (ex: mais gerações e experiências com múltiplas espécies) apresentam muitos benefícios, mas também proporcionam respostas mais complexas, as quais exigem um maior “peso” de evidências para serem comprovadas.

Computational methods in the fractional calculus of variations and optimal control

The fractional calculus of variations and fractional optimal control are generalizations of the corresponding classical theories, that allow problem modeling and formulations with arbitrary order derivatives and integrals. Because of the lack of analytic methods to solve such fractional problems, numerical techniques are developed. Here, we mainly investigate the approximation of fractional operators by means of series of integer-order derivatives and generalized finite differences. We give upper bounds for the error of proposed approximations and study their efficiency. Direct and indirect methods in solving fractional variational problems are studied in detail. Furthermore, optimality conditions are discussed for different types of unconstrained and constrained variational problems and for fractional optimal control problems. The introduced numerical methods are employed to solve some illustrative examples.

Calculus of variations on time scales and applications to economics

We consider some problems of the calculus of variations on time scales. On the beginning our attention is paid on two inverse extremal problems on arbitrary time scales. Firstly, using the Euler-Lagrange equation and the strengthened Legendre condition, we derive a general form for a variation functional that attains a local minimum at a given point of the vector space. Furthermore, we prove a necessary condition for a dynamic integro-differential equation to be an Euler-Lagrange equation. New and interesting results for the discrete and quantum calculus are obtained as particular cases. Afterwards, we prove Euler-Lagrange type equations and transversality conditions for generalized infinite horizon problems. Next we investigate the composition of a certain scalar function with delta and nabla integrals of a vector valued field. Euler-Lagrange equations in integral form, transversality conditions, and necessary optimality conditions for isoperimetric problems, on an arbitrary time scale, are proved. In the end, two main issues of application of time scales in economic, with interesting results, are presented. In the former case we consider a firm that wants to program its production and investment policies to reach a given production rate and to maximize its future market competitiveness. The model which describes firm activities is studied in two different ways: using classical discretizations; and applying discrete versions of our result on time scales. In the end we compare the cost functional values obtained from those two approaches. The latter problem is more complex and relates to rate of inflation, p, and rate of unemployment, u, which inflict a social loss. Using known relations between p, u, and the expected rate of inflation π, we rewrite the social loss function as a function of π. We present this model in the time scale framework and find an optimal path π that minimizes the total social loss over a given time interval.