Calculus of variations on time scales and discrete fractional calculus

Estudamos problemas do cálculo das variações e controlo óptimo no contexto das escalas temporais. Especificamente, obtemos condições necessárias de optimalidade do tipo de Euler–Lagrange tanto para lagrangianos dependendo de derivadas delta de ordem superior como para problemas isoperimétricos. Desenvolvemos também alguns métodos directos que permitem resolver determinadas classes de problemas variacionais através de desigualdades em escalas temporais. No último capítulo apresentamos operadores de diferença fraccionários e propomos um novo cálculo das variações fraccionário em tempo discreto. Obtemos as correspondentes condições necessárias de Euler– Lagrange e Legendre, ilustrando depois a teoria com alguns exemplos.

Computational methods in the fractional calculus of variations and optimal control

The fractional calculus of variations and fractional optimal control are generalizations of the corresponding classical theories, that allow problem modeling and formulations with arbitrary order derivatives and integrals. Because of the lack of analytic methods to solve such fractional problems, numerical techniques are developed. Here, we mainly investigate the approximation of fractional operators by means of series of integer-order derivatives and generalized finite differences. We give upper bounds for the error of proposed approximations and study their efficiency. Direct and indirect methods in solving fractional variational problems are studied in detail. Furthermore, optimality conditions are discussed for different types of unconstrained and constrained variational problems and for fractional optimal control problems. The introduced numerical methods are employed to solve some illustrative examples.

Calculus of variations on time scales and applications to economics

We consider some problems of the calculus of variations on time scales. On the beginning our attention is paid on two inverse extremal problems on arbitrary time scales. Firstly, using the Euler-Lagrange equation and the strengthened Legendre condition, we derive a general form for a variation functional that attains a local minimum at a given point of the vector space. Furthermore, we prove a necessary condition for a dynamic integro-differential equation to be an Euler-Lagrange equation. New and interesting results for the discrete and quantum calculus are obtained as particular cases. Afterwards, we prove Euler-Lagrange type equations and transversality conditions for generalized infinite horizon problems. Next we investigate the composition of a certain scalar function with delta and nabla integrals of a vector valued field. Euler-Lagrange equations in integral form, transversality conditions, and necessary optimality conditions for isoperimetric problems, on an arbitrary time scale, are proved. In the end, two main issues of application of time scales in economic, with interesting results, are presented. In the former case we consider a firm that wants to program its production and investment policies to reach a given production rate and to maximize its future market competitiveness. The model which describes firm activities is studied in two different ways: using classical discretizations; and applying discrete versions of our result on time scales. In the end we compare the cost functional values obtained from those two approaches. The latter problem is more complex and relates to rate of inflation, p, and rate of unemployment, u, which inflict a social loss. Using known relations between p, u, and the expected rate of inflation π, we rewrite the social loss function as a function of π. We present this model in the time scale framework and find an optimal path π that minimizes the total social loss over a given time interval.

Fractional calculus on time scales - Cálculo fraccional em escalas temporais

Introduzimos um cálculo das variações fraccional nas escalas temporais ℤ e (hℤ)!. Estabelecemos a primeira e a segunda condição necessária de optimalidade. São dados alguns exemplos numéricos que ilustram o uso quer da nova condição de Euler–Lagrange quer da nova condição do tipo de Legendre. Introduzimos também novas definições de derivada fraccional e de integral fraccional numa escala temporal com recurso à transformada inversa generalizada de Laplace.

Symmetric quantum calculus

Generalizamos o cálculo Hahn variacional para problemas do cálculo das variações que envolvem derivadas de ordem superior. Estudamos o cálculo quântico simétrico, nomeadamente o cálculo quântico alpha,beta-simétrico, q-simétrico e Hahn-simétrico. Introduzimos o cálculo quântico simétrico variacional e deduzimos equações do tipo Euler-Lagrange para o cálculo q-simétrico e Hahn simétrico. Definimos a derivada simétrica em escalas temporais e deduzimos algumas das suas propriedades. Finalmente, introduzimos e estudamos o integral diamond que generaliza o integral diamond-alpha das escalas temporais.

A scale variational principle of Herglotz

The Herglotz problem is a generalization of the fundamental problem of the calculus of variations. In this paper, we consider a class of non-differentiable functions, where the dynamics is described by a scale derivative. Necessary conditions are derived to determine the optimal solution for the problem. Some other problems are considered, like transversality conditions, the multi-dimensional case, higher-order derivatives and for several independent variables.

Higher-order variational problems of Herglotz type

We obtain a generalized Euler–Lagrange differential equation and transversality optimality conditions for Herglotz-type higher-order variational problems. Illustrative examples of the new results are given.

Existência de minimizantes relaxados e fenómeno de Lavrentiev

Neste trabalho prova-se a existência de minimizantes relaxados em problemas de controlo óptimo não convexos usando técnicas de compactificação. Faz-se a extensão do exemplo de Manià a dimensão dois, obtendo-se uma classe de problemas variacionais em 2D que apresentam Fenómeno de Lavrentiev. Prova-se que o fenómeno persiste a certas perturbações, obtendo- -se assim uma classe de funcionais cujos Lagrangianos são coercivos e convexos em relação ao gradiente. Adicionalmente, apresentam-se exemplos de problemas do cálculo das variações com diferentes condições de fronteira, e em diferentes tipos de domínios (incluindo domínios com fronteira fractal), que exibem Fenómeno de Lavrentiev.

Cálculo das variações fraccional generalizado

Nesta tese de doutoramento apresentamos um cálculo das variações fraccional generalizado. Consideramos problemas variacionais com derivadas e integrais fraccionais generalizados e estudamo-los usando métodos directos e indirectos. Em particular, obtemos condições necessárias de optimalidade de Euler-Lagrange para o problema fundamental e isoperimétrico, condições de transversalidade e teoremas de Noether. Demonstramos a existência de soluções, num espaço de funções apropriado, sob condições do tipo de Tonelli. Terminamos mostrando a existência de valores próprios, e correspondentes funções próprias ortogonais, para problemas de Sturm- Liouville.

The Herglotz variational problem on spheres and its optimal control approach

The main goal of this paper is to extend the generalized variational problem of Herglotz type to the more general context of the Euclidean sphere S^n. Motivated by classical results on Euclidean spaces, we derive the generalized Euler-Lagrange equation for the corresponding variational problem defined on the Riemannian manifold S^n. Moreover, the problem is formulated from an optimal control point of view and it is proved that the Euler-Lagrange equation can be obtained from the Hamiltonian equations. It is also highlighted the geodesic problem on spheres as a particular case of the generalized Herglotz problem.

Fractional variational problems depending on indefinite integrals and with delay

The aim of this paper is to exhibit a necessary and sufficient condition of optimality for functionals depending on fractional integrals and derivatives, on indefinite integrals and on presence of time delay. We exemplify with one example, where we nd analytically the minimizer.

Avaliação do papel dos polimorfismos em enzimas metabolizadoras e enzimas transportadoras de fármacos em neoplasias hematológicas

O cancro é um dos maiores causadores globais de mortalidade e morbilidade, ocorrendo cerca de 14 milhões de novos casos por ano e 8,2 milhões de mortes anuais com esta patologia, números que tendem a aumentar 70% nas próximas duas décadas. A característica tumoral mais nefasta é a sua capacidade de metastização para outros órgãos, um mecanismo que pode ser despoletado pela falha dos mecanismos normais de controlo de crescimento, proliferação e reparação celulares, que facilita o processo de transformação de células normais em células cancerígenas. A oncogénese processa-se em três etapas, a iniciação, a promoção e a progressão e pode ter origem em células estaminais cancerígenas, que regulam as capacidades de propagação e recidiva do tumor. As neoplasias hematológicas resultam de alterações genéticas e /ou epigenéticas que conduzem à desregulação da proliferação, ao bloqueio da diferenciação e/ou à resitência à apoptose. Para além dos fatores de risco exógenos, como agentes carcinogénicos físicos, químicos e biológicos, existem também fatores endógenos, incluindo características genéticas, que podem alterar a predisposição para o aparecimento de neoplasias, bem como influenciar a resposta à terapêutica. Uma das terapêuticas aplicadas no tratamento do cancro é a quimioterapia. Os fármacos administrados a doentes oncológicos seguem normalmente o percurso de absorção, distribuição, metabolização e eliminação. Este curso pode sofrer alterações caso as proteínas transportadoras e metabolizadoras necessárias não atuem corretamente. Para um melhor conhecimento da influência das alterações provocadas por variações nos genes que codificam proteínas transportadoras de efluxo (MDR1, MRP1), proteínas de influxo (OCTN2) e proteínas metabolizadoras (UCK2), o objetivo deste trabalho consistiu na avaliação de polimorfismos nos genes MDR1, MRP1, OCTN2 e UCK2 e da sua relação com a predisposição para o desenvolvimento de neoplasias hematológicas. Para isto, foram utilizadas amostras de 307 doentes com neoplasias hematológicas, 83 de Síndrome Mielodisplásica (SMD), 63 Leucemia Mieloide Aguda (LMA), 16 de Síndrome Mielodisplásica/Neoplasias Mieloproliferativas (SMD/NMP), 77 de Mieloma Múltiplo (MM) e 68 de Gamapatia Monoclonal de Significado Indeterminado (MGUS) e 164 de controlos não neoplásicos e/ou indivíduos saudáveis. As amostras de ADN foram extraídas do sangue periférico com protocolo adequado. De forma a determinar os genótipos correspondentes a cada amostra, realizaram-se técnicas de RFLP-PCR e ARMS-PCR. Posteriormente, calcularam-se estatisticamente as frequências alélicas e genotípicas relativas às variantes polimórficas dos genes MDR1, MRP1, OCTN2 e UCK2 e verificou-se se estavam em Equilíbrio de Hardy-Weinberg. De seguida, avaliou-se a força de associação entre as formas polimórficas e o risco de desenvolvimento de neoplasias hematológicas, através do cálculo do risco relativo por análise de regressão logística. Avaliaram-se ainda os perfis genéticos e a possível relação com o desenvolvimento e progressão da neoplasia com recurso a regressão logística e análise de Kaplan-Meier. De um modo geral as frequências alélicas e genotípicas não se revelaram alteradas comparativamente ao esperado. A análise do odds ratio associado ao polimorfismo rs1045642 do gene MDR1 revelou que o genótipo CT pode constituir um fator de risco aumentado de 1,84x para o desenvolvimento de Gamapatias Monoclonais e 2,27x para o desenvolvimento de Mieloma Múltiplo. Por outro lado, a presença de genótipos portadores do alelo T têm um efeito protetor no desenvolvimento de MM (OR=0,41). O cálculo do risco associado ao polimorfismo rs4148330 do gene MRP1 revela que o genótipo AG é um fator protetor (OR=0,50) para o desenvolvimento de LMA, assim como o alelo G (OR=0,50). Além disso, verificámos que existe uma associação de risco de desenvolver neoplasia com o polimorfismo rs2185268 do gene UCK2. De facto, a presença dos genótipos CC e AC representam um fator de risco 4,59x aumentado para o desenvolvimento de SMD/NMP. O polimorfismo rs274561 do gene OCTN2 não apresenta relação com o risco relativo de desenvolvimento neoplásico. Da avaliação da influência dos polimorfismos em estudo na sobrevivência global dos doentes, podemos assumir que a presença do genótipo GG relativo ao polimorfismo rs2185268 do gene UCK2 representa uma diminuição da sobrevivência em 11 meses. Os resultados obtidos a partir do nosso estudo permitem-nos concluir que os polimorfismos podem ser fatores relevantes na predisposição para o desenvolvimento de neoplasias hematológicas e na progressão destas doenças.

Alteração climática dos índices de estabilidade na Peninsula Iberica

Este trabalho tem como objetivo a comparação da intensidade, frequência e distribuição de um conjunto de índices de estabilidade atmosférica simulados entre o clima histórico (1986-2005) e um cenário climático (2081-2100) na Península Ibérica. Considerou-se o cenário de emissão de gases RCP8.5. Estes índices avaliam a instabilidade atmosférica que é um elemento fundamental e percursor no desenvolvimento de tempestades. Através dos seus valores limite, é possível estimar alterações na probabilidade de ocorrência de eventos extremos que se poderão desenvolver no clima futuro, relativamente ao histórico. Primeiro, utilizou-se um conjunto de simulações do WRF com dois forçamentos: reanálises do ERA-Interim e um modelo do Max Planck Institute. De seguida, foram calculados diferentes índices de estabilidade. A validação do modelo consistiu no cálculo das médias sazonais, da sua diferença e das respetivas PDFs dos índices simulados pelo WRF-MPI e WRF-ERA. Verifica-se uma sobrestimação do CAPE, SHR6km (vento de corte) e SWEAT simulados pelo WRF-MPI. No entanto, nos campos dos índices simulados pelos dois forçamentos para o período histórico, verifica-se que os padrões espaciais são semelhantes apesar das diferenças na intensidade. Como as alterações climáticas dos índices são avaliadas através de diferenças, estas discrepâncias não invalidam a utilização do modelo no futuro. Posteriormente foram estudadas as alterações climáticas dos índices através da comparação entre o clima histórico e futuro. Estima-se um aumento da intensidade do CAPE e uma diminuição (aumento) da frequência de eventos com intensidade reduzida (elevada). Estas alterações são robustas no verão e outono. Também é esperado um aumento da intensidade do SHR6km na primavera e inverno tal como da frequência de SHR6km elevado nestas estações e uma redução da intensidade e da frequência de eventos com SHR6km elevado nas restantes. Haverá um possível aumento robusto da intensidade do SWEAT no verão e outono, bem como da frequência destes valores. Concluindo, será provável um aumento da frequência dos ambientes favoráveis ao desenvolvimento de tempestades, devido a uma maior intensidade e probabilidade de ocorrência de valores extremos do CAPE e do SWEAT. No entanto, a redução do SHR6km, poderá diminuir a organização das tempestades e o seu tempo de vida.

Morfometria craniana do boto (Phocoena phocoena) na costa portuguesa

Eventos climáticos extremos poderão ter conduzido à instabilidade de habitats e em última instância à sua fragmentação, causando repercussões ainda visíveis nos predadores de topo, tais como o boto (Phocoena phocoena). Consequentemente, os indivíduos que não se adaptaram, tiveram de procurar novos habitats com as respetivas condições ideais, nomeadamente os indivíduos da população de botos do Atlântico Este (norte e sul da Baía de Biscaia). O presente estudo focou-se em indivíduos da costa portuguesa (representando uma amostra da população residente a sul da Baía de Biscaia) e, recorrendo a informação proveniente de estudos previamente realizados, procurou salientar diferenças entre os botos que habitam ao longo do Atlântico Este. Foi aplicado um método de limpeza e branqueamento em crânios de boto, para posterior medição. Foram medidos 65 crânios de botos (programa Image J®), providenciados pela rede de arrojamentos de animais marinhos e obtidos no âmbito do projeto LIFE+ MarPro. As comparações das medidas dos crânios entre géneros foram realizadas a partir de modelos alométricos (programa GraphPad Prism ®) e as comparações entre géneros de cada estágio de desenvolvimento foram efetuadas com recurso a uma análise de PERMANOVA unifatorial (usando distâncias euclidianas), através do programa PAST® v. 2.12. Concluiu-se que na população em estudo, tanto as fêmeas como os machos apresentaram um modelo de alometria negativa. Reportou-se que as fêmeas apresentam comprimentos corporais superiores aos machos, assim como comprimentos e larguras cranianas. Comparativamente aos indivíduos da população a norte da Baía de Biscaia, a amostra de estudo da população do sul da Baía de Biscaia (representada pelos indivíduos da costa portuguesa) apresentou maiores comprimentos corporais e cranianos e maior largura craniana. Estes resultados corroboram observações prévias sobre a população de botos do Atlântico, que detetaram já diferenças genéticas e partilha limitada de genes, diferenças nos hábitos alimentares e habitats distintos nos botos de norte e sul da Baía de Biscaia.