Calculus of variations on time scales and discrete fractional calculus

Estudamos problemas do cálculo das variações e controlo óptimo no contexto das escalas temporais. Especificamente, obtemos condições necessárias de optimalidade do tipo de Euler–Lagrange tanto para lagrangianos dependendo de derivadas delta de ordem superior como para problemas isoperimétricos. Desenvolvemos também alguns métodos directos que permitem resolver determinadas classes de problemas variacionais através de desigualdades em escalas temporais. No último capítulo apresentamos operadores de diferença fraccionários e propomos um novo cálculo das variações fraccionário em tempo discreto. Obtemos as correspondentes condições necessárias de Euler– Lagrange e Legendre, ilustrando depois a teoria com alguns exemplos.

Computational methods in the fractional calculus of variations and optimal control

The fractional calculus of variations and fractional optimal control are generalizations of the corresponding classical theories, that allow problem modeling and formulations with arbitrary order derivatives and integrals. Because of the lack of analytic methods to solve such fractional problems, numerical techniques are developed. Here, we mainly investigate the approximation of fractional operators by means of series of integer-order derivatives and generalized finite differences. We give upper bounds for the error of proposed approximations and study their efficiency. Direct and indirect methods in solving fractional variational problems are studied in detail. Furthermore, optimality conditions are discussed for different types of unconstrained and constrained variational problems and for fractional optimal control problems. The introduced numerical methods are employed to solve some illustrative examples.

Calculus of variations on time scales and applications to economics

We consider some problems of the calculus of variations on time scales. On the beginning our attention is paid on two inverse extremal problems on arbitrary time scales. Firstly, using the Euler-Lagrange equation and the strengthened Legendre condition, we derive a general form for a variation functional that attains a local minimum at a given point of the vector space. Furthermore, we prove a necessary condition for a dynamic integro-differential equation to be an Euler-Lagrange equation. New and interesting results for the discrete and quantum calculus are obtained as particular cases. Afterwards, we prove Euler-Lagrange type equations and transversality conditions for generalized infinite horizon problems. Next we investigate the composition of a certain scalar function with delta and nabla integrals of a vector valued field. Euler-Lagrange equations in integral form, transversality conditions, and necessary optimality conditions for isoperimetric problems, on an arbitrary time scale, are proved. In the end, two main issues of application of time scales in economic, with interesting results, are presented. In the former case we consider a firm that wants to program its production and investment policies to reach a given production rate and to maximize its future market competitiveness. The model which describes firm activities is studied in two different ways: using classical discretizations; and applying discrete versions of our result on time scales. In the end we compare the cost functional values obtained from those two approaches. The latter problem is more complex and relates to rate of inflation, p, and rate of unemployment, u, which inflict a social loss. Using known relations between p, u, and the expected rate of inflation π, we rewrite the social loss function as a function of π. We present this model in the time scale framework and find an optimal path π that minimizes the total social loss over a given time interval.

Fractional calculus on time scales - Cálculo fraccional em escalas temporais

Introduzimos um cálculo das variações fraccional nas escalas temporais ℤ e (hℤ)!. Estabelecemos a primeira e a segunda condição necessária de optimalidade. São dados alguns exemplos numéricos que ilustram o uso quer da nova condição de Euler–Lagrange quer da nova condição do tipo de Legendre. Introduzimos também novas definições de derivada fraccional e de integral fraccional numa escala temporal com recurso à transformada inversa generalizada de Laplace.

Symmetric quantum calculus

Generalizamos o cálculo Hahn variacional para problemas do cálculo das variações que envolvem derivadas de ordem superior. Estudamos o cálculo quântico simétrico, nomeadamente o cálculo quântico alpha,beta-simétrico, q-simétrico e Hahn-simétrico. Introduzimos o cálculo quântico simétrico variacional e deduzimos equações do tipo Euler-Lagrange para o cálculo q-simétrico e Hahn simétrico. Definimos a derivada simétrica em escalas temporais e deduzimos algumas das suas propriedades. Finalmente, introduzimos e estudamos o integral diamond que generaliza o integral diamond-alpha das escalas temporais.

A scale variational principle of Herglotz

The Herglotz problem is a generalization of the fundamental problem of the calculus of variations. In this paper, we consider a class of non-differentiable functions, where the dynamics is described by a scale derivative. Necessary conditions are derived to determine the optimal solution for the problem. Some other problems are considered, like transversality conditions, the multi-dimensional case, higher-order derivatives and for several independent variables.

Higher-order variational problems of Herglotz type

We obtain a generalized Euler–Lagrange differential equation and transversality optimality conditions for Herglotz-type higher-order variational problems. Illustrative examples of the new results are given.

Existência de minimizantes relaxados e fenómeno de Lavrentiev

Neste trabalho prova-se a existência de minimizantes relaxados em problemas de controlo óptimo não convexos usando técnicas de compactificação. Faz-se a extensão do exemplo de Manià a dimensão dois, obtendo-se uma classe de problemas variacionais em 2D que apresentam Fenómeno de Lavrentiev. Prova-se que o fenómeno persiste a certas perturbações, obtendo- -se assim uma classe de funcionais cujos Lagrangianos são coercivos e convexos em relação ao gradiente. Adicionalmente, apresentam-se exemplos de problemas do cálculo das variações com diferentes condições de fronteira, e em diferentes tipos de domínios (incluindo domínios com fronteira fractal), que exibem Fenómeno de Lavrentiev.

O empreendedorismo português na cidade do Recife na primeira metade do século XX

A tese analisa o empreendedorismo do imigrante português na cidade do Recife, Estado de Pernambuco, Nordeste do Brasil, durante a primeira metade do século XX. O foco da tese pode ser assim formulado: teria o imigrante português sido empreendedor nesse cenário de mudança econômica e cultural dos primeiros cinquenta anos do século XX, seja como grupo étnico, seja como pessoa de comportamento empreendedor? O corpus teórico principal é, portanto, derivado do campo do empreendedorismo. É uma pesquisa interdisciplinar, que se ampara nas áreas de história, estudos migratórios, econômicos e organizacionais. De acordo com a literatura consultada, esse tipo de abordagem não é incomum no vasto campo do empreendedorismo (Fillion, 1999 e Martinelli, 2007). À luz dessa visão interdisciplinar, a investigação debruça-se sobre o período referido, resgata a trajetória desse imigrante no país e no Recife e discute sua inserção na economia e sociedade locais. Identifica características do dinamismo econômico comercial existente no período e reconstrói a atmosfera de modernidade que a cidade atravessava no mesmo interregno histórico. Para seu desenvolvimento, a pesquisa se apóia em conteúdos de estudos migratórios, históricos e econômicos porque nesse interregno de tempo, a cidade do Recife estava atravessando a chamada era da modernidade nas esferas econômica, cultural e comportamental. No que diz respeito às questões migratórias, a pertinência é óbvia porque o tema do trabalho tem como alvo o imigrante luso. Já quanto à esfera econômica e ao contexto histórico da modernidade, seus conteúdos são trabalhados como o cenário ou o teatro de operações no qual o ator social, imigrante luso, movimentou-se. O trabalho adota, portanto, o olhar de ourives a procurar e a espiar nos textos, livros, discursos visitados e entrevistas realizadas, eventos ou sinais que conduzam à compreensão e interpretação do comportamento do ator econômico, o imigrante português, na história empresarial da cidade do Recife, na condição de empreendedor. Trata-se, por assim dizer, de uma pesquisa de postura quase arqueológica voltada a procurar achados, materiais e imateriais, que denunciem e permitam a discussão e análise do foco acima citado. Diferentemente de pesquisas recentes a serem referidas no capítulo III que exploram o comportamento empreendedor e o empreendedorismo étnico no cenário dos dias de hoje, o estudo olha pelo retrovisor para quase um século atrás e tenta reconstituir e identificar, na história do imigrante português na cidade, conteúdos empreendedorísticos. Está estruturada em 09 (nove) capítulos. No primeiro, são indicados os objetivos perseguidos, a relevância do estudo sob o ponto de vista teórico e os percalços que a pesquisa atravessou para atingir seu termo final. Faz-se, ainda, uma apresentação detalhada dos demais capítulos do trabalho. No corpo do texto, estão ainda, estampadas imagens que testemunham a presença lusa na cidade e documentam a atmosfera da vida do Recife, no período pesquisado. Os resultados encontrados sinalizam para evidências consistentes de empreendedorismo de natureza étnico lusitana nas cadeias produtivas – conceito a ser definido no 9º capítulo– das indústrias da panificação; de terreno, ferragens e construção; e alimentos em geral. Indica, ainda, comportamento empreendedor do imigrante português em diversas atividades econômicas, desde exportação e importação, cafés, restaurantes até o setor de entretenimento em geral. Acredita-se, destarte, que os resultados alcançados podem aditar contribuições relevantes nos campos referidos acima, bem como indicar novos temas de investigação que desdobrem sugestões formuladas nas considerações finais da investigação.

Essays on supply chain's flexibility: a real options approach

A presente tese investiga o processo de tomada de decisão na gestão de cadeias de abastecimento, utilizando um quadro de análise de opções reais. Especificamente, estudamos tópicos como o nível de inventário ideal para protecção contra a incerteza da procura, o momento para implementação de capacidade flexível em mercados onde existe complexidade no mix de produtos, o tempo para o reforço do factor trabalho visando requisitos de serviço ao mercado, e as decisões entre integração e outsourcing num ambiente de incerteza. Foram usadas metodologias de tempo discreto e contínuo para identificar o valor ideal e o calendário das opções a adoptar, quando a procura é estocástica. Além disso, foram considerados os efeitos dos requisitos dos mercados, como a complexidade na oferta de produtos e o nível de serviço. A procura é representada recorrendo a diferentes processos estocásticos, o impacto de saltos inesperados também é explorado, reforçando a generalização dos modelos a diferentes condições de negócio. A aplicabilidade dos modelos que apresentamos permite a diversificação e o enriquecimento da literatura sobre a abordagem de opções reais, no âmbito das cadeias de abastecimento. Níveis de inventário flexíveis e capacidades flexíveis são característicos das cadeias de abastecimento e podem ser usados como resposta à incerteza do mercado. Esta tese é constituída por ensaios que suportam a aplicação dos modelos, e consiste num capítulo introdutório (designado por ensaio I) e mais seis ensaios sobre factores que discutem o uso de medidas de flexibilidade nas cadeias de abastecimento, em ambientes de incerteza, e um último ensaio sobre a extensão do conceito de flexibilidade ao tratamento da avaliação de planos de negócio. O segundo ensaio que apresentamos é sobre o valor do inventário num único estádio, enquanto medida de flexibilidade, sujeita ao crescente condicionalismo dos custos com posse de activos. Introduzimos uma nova classificação de artigos para suportar o indicador designado por overstock. No terceiro e quarto ensaio ampliamos a exploração do conceito de overstock, promovendo a interacção e o balanceamento entre vários estádios de uma cadeia de abastecimento, como forma de melhorar o desempenho global. Para sustentar a aplicação prática das abordagens, adaptamos o ensaio número três à gestão do desempenho, para suportar o estabelecimento de metas coordenadas e alinhadas; e adaptamos o quarto ensaio à coordenação das cadeias de abastecimento, como auxiliar ao planeamento integrado e sequencial dos níveis de inventário. No ensaio cinco analisamos o factor de produção “tecnologia”, em relação directa com a oferta de produtos de uma empresa, explorando o conceito de investimento, como medida de flexibilidade nas componentes de volume da procura e gama de produtos. Dedicamos o ensaio número seis à análise do factor de produção “Mão-de-Obra”, explorando as condicionantes para aumento do número de turnos na perspectiva económica e determinando o ponto crítico para a tomada de decisão em ambientes de incerteza. No ensaio número sete exploramos o conceito de internalização de operações, demarcando a nossa análise das demais pela definição do momento crítico que suporta a tomada de decisão em ambientes dinâmicos. Complementamos a análise com a introdução de factores temporais de perturbação, nomeadamente, o estádio de preparação necessário e anterior a uma eventual alteração de estratégia. Finalmente, no último ensaio, estendemos a análise da flexibilidade em ambientes de incerteza ao conceito de planos de negócio. Em concreto, exploramos a influência do número de pontos de decisão na flexibilidade de um plano, como resposta à crescente incerteza dos mercados. A título de exemplo, usamos o mecanismo de gestão sequencial do orçamento para suportar o nosso modelo. A crescente incerteza da procura obrigou a um aumento da agilidade e da flexibilidade das cadeias de abastecimento, limitando o uso de muitas das técnicas tradicionais de suporte à gestão, pela incapacidade de incorporarem os efeitos da incerteza. A flexibilidade é claramente uma vantagem competitiva das empresas que deve, por isso, ser quantificada. Com os modelos apresentados e com base nos resultados analisados, pretendemos demonstrar a utilidade da consideração da incerteza nos instrumentos de gestão, usando exemplos numéricos para suportar a aplicação dos modelos, o que claramente promove a aproximação dos desenvolvimentos aqui apresentados às práticas de negócio.

Cálculo das variações fraccional generalizado

Nesta tese de doutoramento apresentamos um cálculo das variações fraccional generalizado. Consideramos problemas variacionais com derivadas e integrais fraccionais generalizados e estudamo-los usando métodos directos e indirectos. Em particular, obtemos condições necessárias de optimalidade de Euler-Lagrange para o problema fundamental e isoperimétrico, condições de transversalidade e teoremas de Noether. Demonstramos a existência de soluções, num espaço de funções apropriado, sob condições do tipo de Tonelli. Terminamos mostrando a existência de valores próprios, e correspondentes funções próprias ortogonais, para problemas de Sturm- Liouville.

Optimization models for a short sea fuel oil distribution problem

O transporte marítimo e o principal meio de transporte de mercadorias em todo o mundo. Combustíveis e produtos petrolíferos representam grande parte das mercadorias transportadas por via marítima. Sendo Cabo Verde um arquipelago o transporte por mar desempenha um papel de grande relevância na economia do país. Consideramos o problema da distribuicao de combustíveis em Cabo Verde, onde uma companhia e responsavel por coordenar a distribuicao de produtos petrolíferos com a gestão dos respetivos níveis armazenados em cada porto, de modo a satisfazer a procura dos varios produtos. O objetivo consiste em determinar políticas de distribuicão de combustíveis que minimizam o custo total de distribuiçao (transporte e operacões) enquanto os n íveis de armazenamento sao mantidos nos n íveis desejados. Por conveniencia, de acordo com o planeamento temporal, o prob¬lema e divido em dois sub-problemas interligados. Um de curto prazo e outro de medio prazo. Para o problema de curto prazo sao discutidos modelos matemáticos de programacao inteira mista, que consideram simultaneamente uma medicao temporal cont ínua e uma discreta de modo a modelar multiplas janelas temporais e taxas de consumo que variam diariamente. Os modelos sao fortalecidos com a inclusão de desigualdades validas. O problema e então resolvido usando um "software" comercial. Para o problema de medio prazo sao inicialmente discutidos e comparados varios modelos de programacao inteira mista para um horizonte temporal curto assumindo agora uma taxa de consumo constante, e sao introduzidas novas desigualdades validas. Com base no modelo escolhido sao compara¬das estrategias heurísticas que combinam três heur ísticas bem conhecidas: "Rolling Horizon", "Feasibility Pump" e "Local Branching", de modo a gerar boas soluçoes admissíveis para planeamentos com horizontes temporais de varios meses. Finalmente, de modo a lidar com situaçoes imprevistas, mas impor¬tantes no transporte marítimo, como as mas condicões meteorológicas e congestionamento dos portos, apresentamos um modelo estocastico para um problema de curto prazo, onde os tempos de viagens e os tempos de espera nos portos sao aleatórios. O problema e formulado como um modelo em duas etapas, onde na primeira etapa sao tomadas as decisões relativas as rotas do navio e quantidades a carregar e descarregar e na segunda etapa (designada por sub-problema) sao consideradas as decisoes (com recurso) relativas ao escalonamento das operacões. O problema e resolvido por um metodo de decomposto que usa um algoritmo eficiente para separar as desigualdades violadas no sub-problema.

The Herglotz variational problem on spheres and its optimal control approach

The main goal of this paper is to extend the generalized variational problem of Herglotz type to the more general context of the Euclidean sphere S^n. Motivated by classical results on Euclidean spaces, we derive the generalized Euler-Lagrange equation for the corresponding variational problem defined on the Riemannian manifold S^n. Moreover, the problem is formulated from an optimal control point of view and it is proved that the Euler-Lagrange equation can be obtained from the Hamiltonian equations. It is also highlighted the geodesic problem on spheres as a particular case of the generalized Herglotz problem.

Avaliação do papel dos polimorfismos em enzimas metabolizadoras e enzimas transportadoras de fármacos em neoplasias hematológicas

O cancro é um dos maiores causadores globais de mortalidade e morbilidade, ocorrendo cerca de 14 milhões de novos casos por ano e 8,2 milhões de mortes anuais com esta patologia, números que tendem a aumentar 70% nas próximas duas décadas. A característica tumoral mais nefasta é a sua capacidade de metastização para outros órgãos, um mecanismo que pode ser despoletado pela falha dos mecanismos normais de controlo de crescimento, proliferação e reparação celulares, que facilita o processo de transformação de células normais em células cancerígenas. A oncogénese processa-se em três etapas, a iniciação, a promoção e a progressão e pode ter origem em células estaminais cancerígenas, que regulam as capacidades de propagação e recidiva do tumor. As neoplasias hematológicas resultam de alterações genéticas e /ou epigenéticas que conduzem à desregulação da proliferação, ao bloqueio da diferenciação e/ou à resitência à apoptose. Para além dos fatores de risco exógenos, como agentes carcinogénicos físicos, químicos e biológicos, existem também fatores endógenos, incluindo características genéticas, que podem alterar a predisposição para o aparecimento de neoplasias, bem como influenciar a resposta à terapêutica. Uma das terapêuticas aplicadas no tratamento do cancro é a quimioterapia. Os fármacos administrados a doentes oncológicos seguem normalmente o percurso de absorção, distribuição, metabolização e eliminação. Este curso pode sofrer alterações caso as proteínas transportadoras e metabolizadoras necessárias não atuem corretamente. Para um melhor conhecimento da influência das alterações provocadas por variações nos genes que codificam proteínas transportadoras de efluxo (MDR1, MRP1), proteínas de influxo (OCTN2) e proteínas metabolizadoras (UCK2), o objetivo deste trabalho consistiu na avaliação de polimorfismos nos genes MDR1, MRP1, OCTN2 e UCK2 e da sua relação com a predisposição para o desenvolvimento de neoplasias hematológicas. Para isto, foram utilizadas amostras de 307 doentes com neoplasias hematológicas, 83 de Síndrome Mielodisplásica (SMD), 63 Leucemia Mieloide Aguda (LMA), 16 de Síndrome Mielodisplásica/Neoplasias Mieloproliferativas (SMD/NMP), 77 de Mieloma Múltiplo (MM) e 68 de Gamapatia Monoclonal de Significado Indeterminado (MGUS) e 164 de controlos não neoplásicos e/ou indivíduos saudáveis. As amostras de ADN foram extraídas do sangue periférico com protocolo adequado. De forma a determinar os genótipos correspondentes a cada amostra, realizaram-se técnicas de RFLP-PCR e ARMS-PCR. Posteriormente, calcularam-se estatisticamente as frequências alélicas e genotípicas relativas às variantes polimórficas dos genes MDR1, MRP1, OCTN2 e UCK2 e verificou-se se estavam em Equilíbrio de Hardy-Weinberg. De seguida, avaliou-se a força de associação entre as formas polimórficas e o risco de desenvolvimento de neoplasias hematológicas, através do cálculo do risco relativo por análise de regressão logística. Avaliaram-se ainda os perfis genéticos e a possível relação com o desenvolvimento e progressão da neoplasia com recurso a regressão logística e análise de Kaplan-Meier. De um modo geral as frequências alélicas e genotípicas não se revelaram alteradas comparativamente ao esperado. A análise do odds ratio associado ao polimorfismo rs1045642 do gene MDR1 revelou que o genótipo CT pode constituir um fator de risco aumentado de 1,84x para o desenvolvimento de Gamapatias Monoclonais e 2,27x para o desenvolvimento de Mieloma Múltiplo. Por outro lado, a presença de genótipos portadores do alelo T têm um efeito protetor no desenvolvimento de MM (OR=0,41). O cálculo do risco associado ao polimorfismo rs4148330 do gene MRP1 revela que o genótipo AG é um fator protetor (OR=0,50) para o desenvolvimento de LMA, assim como o alelo G (OR=0,50). Além disso, verificámos que existe uma associação de risco de desenvolver neoplasia com o polimorfismo rs2185268 do gene UCK2. De facto, a presença dos genótipos CC e AC representam um fator de risco 4,59x aumentado para o desenvolvimento de SMD/NMP. O polimorfismo rs274561 do gene OCTN2 não apresenta relação com o risco relativo de desenvolvimento neoplásico. Da avaliação da influência dos polimorfismos em estudo na sobrevivência global dos doentes, podemos assumir que a presença do genótipo GG relativo ao polimorfismo rs2185268 do gene UCK2 representa uma diminuição da sobrevivência em 11 meses. Os resultados obtidos a partir do nosso estudo permitem-nos concluir que os polimorfismos podem ser fatores relevantes na predisposição para o desenvolvimento de neoplasias hematológicas e na progressão destas doenças.

Alteração climática dos índices de estabilidade na Peninsula Iberica

Este trabalho tem como objetivo a comparação da intensidade, frequência e distribuição de um conjunto de índices de estabilidade atmosférica simulados entre o clima histórico (1986-2005) e um cenário climático (2081-2100) na Península Ibérica. Considerou-se o cenário de emissão de gases RCP8.5. Estes índices avaliam a instabilidade atmosférica que é um elemento fundamental e percursor no desenvolvimento de tempestades. Através dos seus valores limite, é possível estimar alterações na probabilidade de ocorrência de eventos extremos que se poderão desenvolver no clima futuro, relativamente ao histórico. Primeiro, utilizou-se um conjunto de simulações do WRF com dois forçamentos: reanálises do ERA-Interim e um modelo do Max Planck Institute. De seguida, foram calculados diferentes índices de estabilidade. A validação do modelo consistiu no cálculo das médias sazonais, da sua diferença e das respetivas PDFs dos índices simulados pelo WRF-MPI e WRF-ERA. Verifica-se uma sobrestimação do CAPE, SHR6km (vento de corte) e SWEAT simulados pelo WRF-MPI. No entanto, nos campos dos índices simulados pelos dois forçamentos para o período histórico, verifica-se que os padrões espaciais são semelhantes apesar das diferenças na intensidade. Como as alterações climáticas dos índices são avaliadas através de diferenças, estas discrepâncias não invalidam a utilização do modelo no futuro. Posteriormente foram estudadas as alterações climáticas dos índices através da comparação entre o clima histórico e futuro. Estima-se um aumento da intensidade do CAPE e uma diminuição (aumento) da frequência de eventos com intensidade reduzida (elevada). Estas alterações são robustas no verão e outono. Também é esperado um aumento da intensidade do SHR6km na primavera e inverno tal como da frequência de SHR6km elevado nestas estações e uma redução da intensidade e da frequência de eventos com SHR6km elevado nas restantes. Haverá um possível aumento robusto da intensidade do SWEAT no verão e outono, bem como da frequência destes valores. Concluindo, será provável um aumento da frequência dos ambientes favoráveis ao desenvolvimento de tempestades, devido a uma maior intensidade e probabilidade de ocorrência de valores extremos do CAPE e do SWEAT. No entanto, a redução do SHR6km, poderá diminuir a organização das tempestades e o seu tempo de vida.