Bethe graphs attached to the vertices of a connected graph: a spectral approach

A weighted Bethe graph $B$ is obtained from a weighted generalized Bethe tree by identifying each set of children with the vertices of a graph belonging to a family $F$ of graphs. The operation of identifying the root vertex of each of $r$ weighted Bethe graphs to the vertices of a connected graph $\mathcal{R}$ of order $r$ is introduced as the $\mathcal{R}$-concatenation of a family of $r$ weighted Bethe graphs. It is shown that the Laplacian eigenvalues (when $F$ has arbitrary graphs) as well as the signless Laplacian and adjacency eigenvalues (when the graphs in $F$ are all regular) of the $\mathcal{R}$-concatenation of a family of weighted Bethe graphs can be computed (in a unified way) using the stable and low computational cost methods available for the determination of the eigenvalues of symmetric tridiagonal matrices. Unlike the previous results already obtained on this topic, the more general context of families of distinct weighted Bethe graphs is herein considered.

Imagens das línguas e afectividade em contexto escolar

Enquadrado numa perspectiva sócio-construtivista em Didáctica de Línguas (DL), o presente trabalho propõe-se identificar e descrever as imagens face às línguas estrangeiras, em particular à língua Alemã, e sua aprendizagem, que se manifestam numa determinada comunidade escolar. Com base nas imagens identificadas, pretende-se compreender de que forma elas se relacionam com a dimensão afectiva presente no processo de ensinoaprendizagem, nomeadamente no que diz respeito à relação afectiva que o aprendente vai construindo com o alemão, objecto de estudo. Neste quadro, foram traçadas as seguintes questões de investigação para este trabalho: (1) Que imagens face às línguas escolares (inglês, francês, espanhol, português e, em particular, alemão), se manifestam numa determinada comunidade escolar (considerando os alunos, encarregados de educação, professores, administração da escola e funcionários)?; Como se (inter-) relacionam estas imagens nos diferentes públicos considerados?; (2) De que forma se manifestam as imagens face à língua alemã e sua aprendizagem na interacção em sala de aula de Alemão (LE)? Quais as marcas discursivas que as identificam e tecem?; De que forma estão estas imagens associadas às emoções e (3) Quais as emoções associadas às imagens do Alemão e sua aprendizagem em contexto de sala de aula? A investigação recente em DL sugere que as imagens que um determinado sujeito constrói face a uma dada língua permitem compreender as suas atitudes e comportamentos face à mesma, nomeadamente no que diz respeito à relação afectiva que vai construindo com a língua em causa e sua aprendizagem (cf. ARAÚJO E SÁ & SCHMIDT 2008, DE PIETRO & MÜLLER 1997, MÜLLER 1998, PERREFORT 2001). Estas imagens, enquanto constructos sociais, elaboram-se, revitalizam-se e cristalizam-se na e pela interacção verbal em sala de aula. Nesta perspectiva, o presente trabalho discute os conceitos de imagem/representação face às línguas, relacionandoos com a dimensão afectiva (inegavelmente) presente nos processos de ensino-aprendizagem das LE e à luz de uma abordagem interaccional em DL. A investigação desenrolou-se em duas fases. Numa primeira, aplicou-se um inquérito por questionário a toda uma comunidade escolar (incluindo todos os públicos anteriormente referidos), numa escola secundária com terceiro ciclo em Albergaria-a-Velha, no distrito de Aveiro. Os dados recolhidos foram analisados segundo uma abordagem mista (quantitativa e qualitativa). Os resultados apontam para imagens fortemente escolarizadas, na medida em que os inquiridos parecem considerar as línguas estrangeiras sobretudo enquanto objectos de apropriação em contextos escolares. Identificaram-se imagens homogéneas e consistentes das línguas estrangeiras, evidenciando-se, no que à língua alemã diz respeito, a sua dificuldade. Os resultados relacionam-se com os obtidos noutras investigações realizadas em terreno nacional em DL, corroborando alguns e complementando outros (ARAÚJO E SÁ 2008, SIMÕES 2006, PINTO 2005, MELO 2006 e Projecto Imagens das Línguas na comunicação intercultural: contributos para o desenvolvimento da competência plurilingue). Numa segunda fase, acompanhou-se uma turma de alemão (LE) ao longo de um ano lectivo completo, tendo-se procedido à vídeo-gravação das aulas e, posteriormente, à identificação do que designámos por ‘episódios significativos’, para constituição do corpus de análise. A análise interaccional destes episódios permitiu a identificação de diferentes marcas discursivas (verbais, para-verbais e não-verbais) que indiciam, por um lado, a circulação e (re)construção de imagens face ao alemão e sua aprendizagem e, por outro, a presença de um conjunto de emoções associadas a estas imagens, nos discursos dos aprendentes e da professora. No que diz respeito à imagem da dificuldade do alemão e da sua aprendizagem, cristalizaram-se seis indicadores: (1) a compreensão oral e a pronúncia, (2) o léxico e as palavras compostas (3) os números, (4) a leitura, (5) o sistema de regras gramaticais e, finalmente, (6) a auto-imagem dos alunos enquanto aprendentes de alemão. Os resultados sugerem ainda a associação destas imagens a emoções tendencialmente ‘negativas’ (por exemplo a arrelia e o embaraço), isto é, que se traduzem numa atitude de distanciamento e de evitamento linguístico. Face às conclusões obtidas, propõe-se um conjunto de princípios enquadradores para uma educação em línguas ‘afectivamente consciente’ e capaz de promover imagens mais positivas das línguas e das suas aprendizagens, designadamante do alemão. Considerando-se a diminuição acentuada dos aprendentes de alemão (LE) em contexto escolar nacional nos últimos dez anos, aponta-se para a necessidade de melhor compreender a relação entre a falta de popularidade escolar desta língua e a imagem da sua dificuldade (de aprendizagem).