La elipse desde la perspectiva de la teoría de los modos de pensamiento

La investigación que reportamos, da cuenta de un estudio sobre la comprensión del concepto Elipse en estudiantes entre 16 y 18 años, bajo un enfoque cognitivo, donde se utiliza los modos de pensamiento de Anna Sierpinska como marco teórico y, estudio de casos como diseño metodológico. Nuestra problemática se sitúa al abordar la elipse solamente a través de las ecuaciones cartesianas, afirmamos que estas técnicas no son suficientes para lograr una comprensión profunda del concepto, cuando decimos comprensión profunda, estamos pensando en que el estudiante pueda comprender la elipse en los modos: Sintético-Geométrico (como sección cónica en el espacio/curva que la representa en el plano), Analítico-Aritmético (como pares ordenados que satisfacen la ecuación de la elipse) y Analítico - Estructural (como lugar geométrico). A lo largo de la investigación evidenciamos que los estudiantes logran una mayor comprensión del concepto elipse cuando se enfrentan a situaciones donde interactúan los tres modos de pensar.

Las cónicas: una propuesta didáctica desde la teoría de los modos de pensamiento

Se sustenta una propuesta didáctica para la comprensión de las cónicas en estudiantes de 16 a 18 años de edad, a partir de una investigación con enfoque cognitivo, desde la teoría los modos de pensamiento de Anna Sierpinska, donde se distinguen tres modos de pensar un concepto: sintético-geométrico (SG), analítico-aritmético (AA) y analítico-estructural (AE). Nuestra problemática se sitúa en la enseñanza-aprendizaje de las cónicas cuando el discurso matemático escolar da prioridad a las ecuaciones cartesianas que las describen. Consideramos que el énfasis en esas ecuaciones, promueve la pérdida de su estructura como lugar geométrico. Como resultado de investigación, se diseña una propuesta didáctica exploratoria en la geometría del taxi, con la convicción de que el aprendiz entiende las cónicas cuando transita entre los distintos modos de comprenderlas: SG (como figuras que las representan), AA (como pares ordenados que satisfacen una ecuación) y AE (como lugar geométrico).

Detección de los modos de razonamiento propiciados por el docente de álgebra

Interesa a este estudio detectar modos de razonamiento matemático propiciados en los alumnos desde las prácticas docentes de los profesores. Se pretende hacer un estudio de casos en donde se identifiquen estos razonamientos. Algunas de las preguntas guía de este estudio son: ¿Qué relación hay entre los propósitos de la asignatura con el perfil de egreso de la educación media superior? ¿De que manera influye la formación del profesor en su práctica docente y que modos de razonamiento desarrolla dentro de esta? ¿Qué es lo que busca el profesor en la bibliografía y qué fuentes consulta y dónde las consulta? ¿Cuál es la dinámica ambiental dentro del aula? ¿qué tipo de actitudes se generan en el aula? ¿se favorecen sujetos críticos y reflexivos, con la posibilidad de expresarse y de preguntarse? ¿Qué tipo de actitudes muestran los alumnos? bajo la perspectiva de los modos de pensamiento analizados por Sierpinska, quien maneja los modos geométrico–sintético, analíticoaritmético y analítico-estructural. Frente a los altos índices de reprobación de los alumnos de Bachillerato General en la asignatura de Álgebra, surge el desafío para los docentes de reemplazar la memorización por una comprensión más profunda. Lo que se pretende es que las matemáticas sean, para el estudiante, herramientas funcionales y flexibles que le permitan resolver las situaciones problemáticas que se le planteen, en diversos ámbitos. A la perspectiva técnica se opone la perspectiva práctica, a los dos puntos de vistas mencionados se agrega un nuevo enfoque: estratégico, donde las actividades educativas están históricamente localizadas, las cuales tienen un lugar, sobre un trasfondo socio histórico y proyectan una visión de la clase de futuro que deseamos construir.

Los modos de pensamiento analítico y sintético en el estudio del concepto de espacio vectorial

Ante el interés creciente por álgebra lineal y las dificultades que aún continúan presentando los estudiantes en el aprendizaje de los objetos abstractos de esta disciplina, el presente trabajo pretende apoyarse en el marco de la geometría sintética para introducir los espacios analíticos R1, R2 y R3 y poder sólo después realizar las generalizaciones pertinentes a Rn. Un análisis histórico permite comprender ciertas dificultades de los estudiantes y a la vez proporciona elementos para construir secuencias de actividades con miras a introducir los conceptos de álgebra lineal de tal manera que los estudiantes perciban la necesidad del formalismo, presentando todos los sentidos posibles de los conceptos en sus diferentes modos de representación, en particular conectarlo con sus conocimientos anteriores sobre los sistemas de ecuaciones lineales y la geometría. Esta investigación se desarrollará con estudiantes de primer año universitario, cuando llevan por primera vez álgebra lineal y el concepto de espacio vectorial es enseñado formalmente como una definición muy amplia que involucra varios conceptos previos.

Conocimiento numérico y formación del profesorado. Discurso de apertura curso académico 1995-1996

A lo largo de esta lección hemos presentado una variedad de consideraciones interconectadas, cuyo objeto común ha sido la relación del número natural con los modos de pensamiento y de actuaciones prácticas de mujeres y hombres. Nuestra reflexión se ha centrado en tres elementos fundamentales:Unos instrumentos conceptuales: sistema de los números naturales, simbólicamente estructurado; su evolución histórica y su análisis conceptual.Los modos de uso de este sistema simbólico: funciones cognitivas, así como los estudios que se han propuesto delimitar y caracterizar tales funciones como parte del pensamiento humano, su evolución y las condiciones para su aprendizaje.Los campos de actuación: fenómenos, cuestiones y problemas, en los que se pone en práctica y se trabaja con este sistema; especial importancia hemos concedido a la reflexión crítica en relación con el período escolar.

Evaluación de los aprendizajes referidos a las transformaciones de isometría en la integración de tecnología: Un estudio monográfico

El marco aceptado para el aprendizaje con los entornos de aprendizaje informáticos: se trata de un modelo de aprendizaje constructivista, basado en la resolución de problemas mediante exploración y conjetura. En este contexto el papel del profesor cambia, en la medida en que son diferentes: las condiciones de trabajo, las formas de comunicación que el software ofrece, los modos de proceder que se propician en la resolución de tareas, y los tipos de actividades matemáticas estándar que pueden proponerse. De acuerdo con lo planteado anteriormente, los intereses que motivan la problemática a desarrollar en el presente trabajo de grado, es determinar el papel que desempeña la evaluación en el proceso de enseñanza de las transformaciones de isometría cuando el docente ha integrado tecnología a sus prácticas educativas, a partir, de los desarrollos investigativos de la didáctica de las matemáticas, la ergonomía cognitiva y aspectos de orden curricular. Porque esto permitirá establecer ciertas variables de análisis tales como: el tipo de metodología que se pone en juego, la perspectiva que posee el maestro con respecto a la integración de las nuevas tecnologías en el aula de matemáticas, las diversas intenciones u objetivos que el maestro posee, el tipo de actividades que se proponen y las temáticas que se desarrollan; estas variables en conjunto contienen de manera explicita o implícita la evaluación que se lleva cabo al interior de un proceso de enseñanza y aprendizaje que integra el uso de las nuevas tecnologías, lo cual hace que las situaciones de enseñanza aprendizaje sean mucho más complejas desde un punto de vista didáctico, porque un sistema informático en primer lugar modifica los objetos de enseñanza y en segundo lugar modifica las relaciones que se pueden tener con dichos objetos.

El papel de la tecnología en la demostración matemática

En educación matemática el razonamiento cobra especial importancia, al mismo tiempo que su uso puede conducir a opiniones contrapuestas. Entender y dominar la demostración de un resultado matemático ayuda a su comprensión, facilita su empleo en el estudio de otras proposiciones y contribuye a la consolidación de un lenguaje matemático. Pero ¿puede sacarse partido a una demostración si se desconoce qué es, qué papel juega, y dónde reside su fuerza? ¿Deben frenarse los intentos de los alumnos de justificar a su modo los resultados matemáticos, ó modelarlos y sacarles mejor rendimiento? ¿No es mejor una aproximación medianamente fundada pero entendida, que aseveraciones bien formalizadas pero sin significado? Si además se considera la aportación que las nuevas tecnologías realizan a la enseñanza, es necesario una reflexión acerca de cómo se ve afectada, si es que se altera, la forma de validar el conocimiento matemático en el aula, además de establecer cuál es el rigor y la formalidad de las justificaciones que se desarrollan con estos instrumentos. En este reporte, se realiza un acercamiento teórico a diferentes modos de justificar las proposiciones matemáticas en el aula, y al papel que desempeña la tecnología en esta tarea. También se describe una experimentación llevada a cabo con profesores de matemáticas en formación en la que se analizaron las concepciones que tenían acerca del valor educativo que posee la calculadora TI-92 para, de algún modo, validar dichas proposiciones.

Equilibrar algo desequilibrado:los estándares del NCTM a la luz de las teorías del aprendizaje de las matemáticas

Este artículo es respuesta a la pregunta formulada por Jeremy Kilpatrick, "¿Qué dicen la investigación y la teoría acerca de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas que se plasman en los documentos de los Estándares [del NCTM] y en varias de las críticas hechas a ellos?" (Kilpatrick, 1997). Me centro aquí en aquellas necesidades de los alumnos, que según las teorías disponibles, son la fuerza conductora que subyace al aprendizaje humano y debe ser lograda si se quiere que éste tenga éxito. En este artículo se identifican diez de tales necesidades. Mi análisis se basa en el supuesto de que todas ellas son universales aunque se puedan expresar de modos diferentes en diferentes individuos y en diferentes edades. Para cada una de las diez necesidades se consideran cuatro preguntas: ¿qué sabemos acerca de esta necesidad?, ¿cómo enfrentan esta necesidad los Estándares del NCTM?, ¿qué puede resultar mal al implementar las recomendaciones de los Estándares?, ¿qué se puede hacer para prevenir esto? A lo largo del artículo, señalo ciertos dilemas inherentes al proyecto de enseñar matemáticas y sostengo que aunque algunos de los problemas no parezcan solubles, quizás su impacto se pueda reducir considerablemente con sólo mantenernos conscientes de su existencia. Este artículo se ha dividido en dos partes para su presentación en la Revista. Aquí se incluye lo referente a las cinco primeras necesidades identificadas; en el siguiente número se expondrá lo relativo a las otras necesidades.

Estudio exploratorio sobre el sentido estructural en tareas de simplificación de fracciones algebraicas

Analizamos el sentido estructural que estudiantes de entre 16 y18 años de edad ponen de manifiesto al trabajar con expresiones algebraicas, en el contexto de la simplificación de fracciones algebraicas que involucran las igualdades notables cuadrado de la suma, cuadrado de la diferencia, diferencia de cuadrados y propiedad distributiva/factor común. La identificación y clasificación de las estrategias empleadas por los estudiantes nos permite diferenciar tres modos de actuación que evidencian diferentes niveles de sentido estructural. Este análisis nos permite distinguir un amplio espectro de niveles de sentido estructural y avanzar en la comprensión del constructo sentido estructural que informa sobre las habilidades necesarias para hacer un uso eficiente de las técnicas algebraicas en tareas escolares.

El isomorfismo de medidas como estrategia para la resolución de problemas multiplicativos en el tercer grado de la escuela primari

La presente investigación, de orden cualitativo y en curso, es parte de una tesis de maestría en México respaldada por el CONACYT. El interés es identificar las dificultades de estudiantes del segundo ciclo de primaria (8-9 años) al resolver problemas multiplicativos según la estructura del “Isomorfismo de Medidas” propuesta por Vergnaud (1995). La propuesta teórica se basa en el “Modelo Teórico Local” (Filloy, 1999). En su primera fase, se realiza la revisión de la propuesta institucional (Secretaria de Educación Pública, [SEP] 1993), bibliografía complementaria respecto a la enseñanza de problemas multiplicativos, y el diseño de pruebas y ejercicios de diagnóstico; en la segunda fase se diseñara y aplicará el modelo de enseñanza centrando el interés en la resolución de problemas con isomorfismo de medidas. Como resultados preliminares, se tiene que los niños muestran modos de resolución de problemas deficientes, debido a que en la propuesta oficial no se tratan problemas relacionados con el “Isomorfismo de medidas”. Los niños presentan dificultades al resolver problemas de la vi

El isomorfismo de medidas como estrategia para la resolución de problemas multiplicativos en el tercer grado de la escuela primaria

La presente investigación, de orden cualitativo y en curso, forma parte de una tesis de maestría en México respaldada por el CONACYT. El interés es identificar las dificultades de estudiantes del segundo ciclo de primaria (8-9 años) al resolver problemas multiplicativos según la estructura propuesta por Vergnaud (1995) en el “Isomorfismo de Medidas”. La propuesta teórica es basada en el “Modelo Teórico Local” (Filloy, 1999). En su primera fase, de dos, se realiza la revisión de la propuesta institucional (Secretaria de Educación Pública, [SEP] 1993), bibliografía complementaria respecto a la enseñanza de problemas multiplicativos, y el diseño de pruebas y ejercicios de diagnóstico. Como resultados preliminares, se tiene que los niños muestran modos de resolución de problemas deficientes, debido a que en la propuesta oficial no se tratan problemas relacionados con el “Isomorfismo de medidas”. Los niños presentan dificultades al resolver problemas de la vida cotidiana planteados en el aula.

Modelos matemáticos a partir del modelo nomológico–deductivo de la explicación científica

Mostraremos a continuación la posibilidad de generar modelos matemáticos simples a partir de la explicación de un hecho físico. El marco teórico de partida es el de la explicación científica con la estructura del modelo nomológico deductivo. El uso de modelos matemáticos en este marco genera herramientas didácticas de distinto tipo, en este articulo desarrollamos brevemente el diseño de proyectos de investigación para los alumnos. El docente puede generar y luego utilizar estos proyectos de distintos modos, por ejemplo, como actividad de cierre de un curso, o también para generar una discontinuidad en el transcurso de la cursada, como actividad en paralelo que ocupe algún momento de las clases, etc.

imátgenes 1, 2 y 3

Esta sección encontrará sus lectores más inmediatos entre las personas vinculadas al mundo académico y matemático, pero lo ideal sería que estas páginas pudieran llegar más allá. Tú, lector, podrías ser quien concretara el sentido educativo de la sección invitando a tus alumnos, familiares y amigos a relacionar lo que ven con las matemáticas. Por el nivel de matemáticas necesario no deberían preocuparse, ya que se restringirá al de la E.S.O. y el Bachillerato. Todo lo que vemos son imágenes. Pensando en ellas buscamos en nuestro conocimiento modos de interpretarlas y entenderlas. Ahora se propone la reflexión sobre imágenes no con la intención de efectuar una descripción matemática gratuita de lo que se ve mediante la aplicación de conocimiento matemático, sino más bien al contrario: observar cómo las matemáticas pueden resultar imprescindibles para comprender lo que vemos. La idea es desvelar el trasfondo matemático subyacente en las imágenes, de ahí el título de la sección: imátgenes. Una iMATgen será una imagen portadora de matemáticas esenciales para su comprensión. Nada impide realizar un juego de palabras con un cariz biológico. Puesto que ante una misma imagen dos personas pueden dar interpretaciones diferentes, una imagen puede admitir dos iMÁTgenes distintas. Por eso ofrecemos la posibilidad de participar en la sección mediante el correo electrónico: "imatgenes.suma@fespm.org". Cualquier comentario, sugerencia o ayuda será bien recibida. Muchas gracias. ¡Que lo veáis bien!

Algunos usos de las calculadoras y la computadora para introducir el concepto de derivada

Este artículo se basa en que las nuevas tecnologías representan una alternativa para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas; las calculadoras simples, las calculadoras gráficas y las computadoras han ido desplazando a la tiza y a la pizarra, pues los temas pueden ser mostrados con mayor dinamismo y agilidad. Sin embargo, un problema muy común entre los profesores es que cuentan con la tecnología para innovar, pero no saben como hacerlo, en el artículo se sugieren algunas formas de utilizar la tecnología para introducir el concepto de derivada, algunos modos de aproximarla y, por último, cómo obtener reglas generales.