El método de Descartes para trazar normales a curvas

El trabajo que hemos desarrollado en este artículo es un estudio de un método histórico desarrollado por Descartes para calcular la recta normal a una curva, y que puede ser aprovechado para calcular derivadas puntuales y generales de funciones. El método, requiere de la resolución de ecuaciones algebraicas y transcendentes, que en principio pueden ser complicadas (por eso ha caído en el olvido), pero que permite introducir en el aula una gran cantidad de aspectos docentes. Además, la idea en la que se fundamenta el método de Descartes puede ser aprovechada para calcular la distancia de un punto a una recta o un plano.

Las funciones racionales a través de su descomposición

En las matemáticas del bachillerato, la representación gráfica de funciones racionales suele abordarse como un caso más de la representación general de funciones, aunque con una atención especial en el cálculo de las asíntotas. Para el cálculo de primitivas de funciones racionales se usa la descomposición de las mismas en fracciones simples. Se trata aquí de aplicar esta descomposición en la representación gráfica haciendo mención de las ventajas sobre el método que generalmente se suele usar.

imátgenes 7, 8 y 9

Una vez acordado el precio nos ponemos en camino. Son las ocho de la mañana y hace un día espléndido. El cielo es una sábana azul sin mácula y el verdor intenso que nos rodea justo al abandonar las bulliciosas calles de Ternate refleja la luz del astro en multitud de tonalidades deslumbrantes. La carretera serpentea arriba y abajo perfilando la costa con el mar a la derecha. Después de pasar por diversos pueblos y atravesar un bosque espeso la vegetación desaparece de repente al llegar a Batu Angus (roca abrasada), una cicatriz colosal e imborrable, un río pétreo vestigio de la erupción del Gamalama en el siglo XVIII.

Razonamiento numérico en problemas de promedios

En este trabajo presentamos los resultados de un cuestionario formado por cuatro problemas abiertos, a través de los cuales evaluamos la comprensión de la idea de media aritmética. Analizamos los componentes del significado que asigna una muestra de 53 alumnos de educación secundaria a este concepto, y, en particular, su comprensión de propiedades numéricas de este concepto.

Imátgenes 4, 5 y 6

¿Dónde están las cosas? ¿Dónde estoy yo? Aquí. Estoy aquí y ahora. Doy un paso y ya no estoy, ni aquí ni ahora, sino más lejos, y después. ¿Qué distancia me separa de mí mismo? Ninguna, cero, nada. O cuarenta mil kilómetros, la cintura del planeta. O pi multiplicado por veinte mil millones de años luz, el perímetro del Universo, más o menos. O la longitud de la trayectoria de un vuelo imaginario y arbitrario que partiendo de mi, aquí y ahora, volviera a mí, aquí, pero después: ¿Un dedo? ¿Un metro? ¿El infinito?

Aplicación de un modelo de decisión para clasificar un conjunto de posibles causas de mal comportamiento de los estudiantes en el aula

El objetivo de este trabajo es el de presentar una aplicación, llevada a cabo en un centro de enseñanza secundaria, de un modelo de decisión diseñado para situaciones de toma decisiones con múltiples expertos con información espero que en concreto dicho modelos utilizados para clasificar, de mayor a menor grado de influencia, un conjunto de posibles causas del mal comportamiento de los estudiantes en el aula, de acuerdo con las opiniones de un grupo de profesores de dicho centro.

Un ejemplo de utilizar en el área de estadística las representaciones gráficas con ordenador

En este artículo se reflexiona sobre la incorporación de gráficos tridimensionales a la educación matemática en bachillerato mediante el uso de un sistema de cálculo simbólico, y se presenta un ejemplo de aplicación. Al final del artículo se propone una posible línea de ampliación de la actividad descrita y se hace una última reflexión sobre las posibilidades que, para el aula, nos ofrecen los sistemas de cálculo simbólico.

El problema del dado con partidas no jugadas

El problema de los puntos, –que ya habían abordado autores, como Pacioli, Tartaglia y Cardano–, es un problema de decisión bajo incertidumbre, que motivó la correspondencia entre Pascal y Fermat en 1654. Ahora bien, en la primera carta que escribe Pascal a Fermat, introduce un nuevo problema sobre dados, también de decisión bajo incertidumbre, «el problema de las partidas no jugadas», que ha motivado el presente trabajo. Aunque más sencillo que el problema de los puntos, ambos tienen cosas en común. Fermat aportará soluciones a estos problemas basadas en la enumeración de todos los posibles resultados, lo que Pascal denomina «el método combinatorio». Al tratar de evitar las enumeraciones de todos los resultados, Pascal descubrirá lo que llamó «método universal»: la esperanza matemática. Igualmente, y a requerimientos de Pascal, Fermat, descubrirá lo que llamamos el modelo de Pascal o modelo geométrico. En el presente trabajo aplicamos estos nuevos métodos al problema de las partidas no jugadas, lo que permitirá apreciar el trabajo que desarrollaron ambos matemáticos.

Algunas demostraciones del valor de la potencia de un punto con respecto a una circunferencia

Se proponen tres demostraciones sobre el valor de la potencia de un punto con respecto a una circunferencia. La primera utiliza el método de la geometría analítica, y las propiedades de las soluciones de la ecuación de segundo grado. La segunda se basa sólo en el Teorema de Pitágoras. Y, la tercera utiliza el álgebra de vectores. Por último, se da el resultado de la potencia de un punto con respecto a una elipse. Con esto se intenta suplir el hueco en los libros de texto, de nivel de Bachillerato, que no recogen una demostración general sobre la constancia de la potencia del punto con respecto a una circunferencia.

Conjuntos convexos, funciones convexas y desigualdades clásicas

En este artículo se presenta una propuesta para introducir el concepto de función convexa de un modo diferente al habitual, complementario a éste, que se apoya en la relación entre convexidad de funciones y conjuntos convexos, y que no requiere que la función sea derivable. Además, permite obtener, de forma sencilla y unificada, las desigualdades numéricas clásicas a partir de la convexidad de ciertas funciones

Acerca del libro de arena de Jorge Luis Borges

Muchas veces en clase he trazado de extremo a extremo de la pizarra una línea blanca a la que he puesto por nombre R. Este gesto invita a pensar que R, el conjunto de los números reales, se parece mucho a una fila india de puntos muy apretados. Pero los matemáticos sabemos que no es así, pues hay infinitos de diversa índole. El infinito del libro de arena borgiano es numerable, el infinito real no. El continuo real no es ni debe imaginarse como una hilera muy tupida de puntos suspensivos, sino más bien como... ya se verá.

Algoritmos genéticos: la evolución como modelo matemático

Durante millones de años los seres vivos se han encontrado con numerosas situaciones adversas, es decir, con una enorme cantidad de problemas que han tenido que ir solucionando poco a poco mediante sucesivas adaptaciones. El éxito de la vida en innumerables entornos no es sino el reflejo de que los seres vivos han encontrado soluciones para los distintos problemas con los que se han enfrentado. Son varias las cuestiones que podemos plantearnos en relación a esta cuestión: ¿cuál es el mecanismo que ha permitido la supervivencia de los seres vivos en ambientes tan distintos?, ¿existe algún algoritmo matemático que subyazca en el mismo?, en este caso, ¿podría ser aplicable a otras situaciones y problemas? Los algoritmos genéticos son una de las herramientas que han nacido para responder a estas cuestiones.

Entrevista a Jordi Dou

Muchos barceloneses lo recuerdan como profesor, miles de matemáticos del mundo conocen la firma “Jordi Dou (Barcelona)” asociada a soluciones de problemas en las publicaciones más prestigiosas: Monthly, Crux, etc.

Explorando un problema de extremos con un programa de geometría dinámica

Este articulo ilustra cómo un problema ambiguamente formulado admite diferentes lecturas y soluciones, permitiendo así distintas aproximaciones según el nivel y las capacidades del alumno. El problema de optimización es explorado en un entorno de geometría dinámica (The Geometer's Sketchpad). Esta aproximación geométrica facilita la formulación de conjeturas y su prueba visual, allanando el camino a la prueba analítica, si ésta se considera pertinente.

Uso didáctico de la criptografía: la administración de secretos

En este artículo se presenta un protocolo criptografico para la administración de secretos como base para la enseñanza y aplicación de las matemáticas en enseñanza secundaria. La facilidad de comprensión del problema propuesto lo convierte en un arma eficaz para atraer la atención de los estudiantes en contenidos de difícil aprendizaje como polinomios y sistemas de ecuaciones.