Sur les tests lisses d'ajustement dans le context des series chronologiques

La plupart des modèles en statistique classique repose sur une hypothèse sur la distribution des données ou sur une distribution sous-jacente aux données. La validité de cette hypothèse permet de faire de l’inférence, de construire des intervalles de confiance ou encore de tester la fiabilité du modèle. La problématique des tests d’ajustement vise à s’assurer de la conformité ou de la cohérence de l’hypothèse avec les données disponibles. Dans la présente thèse, nous proposons des tests d’ajustement à la loi normale dans le cadre des séries chronologiques univariées et vectorielles. Nous nous sommes limités à une classe de séries chronologiques linéaires, à savoir les modèles autorégressifs à moyenne mobile (ARMA ou VARMA dans le cas vectoriel). Dans un premier temps, au cas univarié, nous proposons une généralisation du travail de Ducharme et Lafaye de Micheaux (2004) dans le cas où la moyenne est inconnue et estimée. Nous avons estimé les paramètres par une méthode rarement utilisée dans la littérature et pourtant asymptotiquement efficace. En effet, nous avons rigoureusement montré que l’estimateur proposé par Brockwell et Davis (1991, section 10.8) converge presque sûrement vers la vraie valeur inconnue du paramètre. De plus, nous fournissons une preuve rigoureuse de l’inversibilité de la matrice des variances et des covariances de la statistique de test à partir de certaines propriétés d’algèbre linéaire. Le résultat s’applique aussi au cas où la moyenne est supposée connue et égale à zéro. Enfin, nous proposons une méthode de sélection de la dimension de la famille d’alternatives de type AIC, et nous étudions les propriétés asymptotiques de cette méthode. L’outil proposé ici est basé sur une famille spécifique de polynômes orthogonaux, à savoir les polynômes de Legendre. Dans un second temps, dans le cas vectoriel, nous proposons un test d’ajustement pour les modèles autorégressifs à moyenne mobile avec une paramétrisation structurée. La paramétrisation structurée permet de réduire le nombre élevé de paramètres dans ces modèles ou encore de tenir compte de certaines contraintes particulières. Ce projet inclut le cas standard d’absence de paramétrisation. Le test que nous proposons s’applique à une famille quelconque de fonctions orthogonales. Nous illustrons cela dans le cas particulier des polynômes de Legendre et d’Hermite. Dans le cas particulier des polynômes d’Hermite, nous montrons que le test obtenu est invariant aux transformations affines et qu’il est en fait une généralisation de nombreux tests existants dans la littérature. Ce projet peut être vu comme une généralisation du premier dans trois directions, notamment le passage de l’univarié au multivarié ; le choix d’une famille quelconque de fonctions orthogonales ; et enfin la possibilité de spécifier des relations ou des contraintes dans la formulation VARMA. Nous avons procédé dans chacun des projets à une étude de simulation afin d’évaluer le niveau et la puissance des tests proposés ainsi que de les comparer aux tests existants. De plus des applications aux données réelles sont fournies. Nous avons appliqué les tests à la prévision de la température moyenne annuelle du globe terrestre (univarié), ainsi qu’aux données relatives au marché du travail canadien (bivarié). Ces travaux ont été exposés à plusieurs congrès (voir par exemple Tagne, Duchesne et Lafaye de Micheaux (2013a, 2013b, 2014) pour plus de détails). Un article basé sur le premier projet est également soumis dans une revue avec comité de lecture (Voir Duchesne, Lafaye de Micheaux et Tagne (2016)).

Exploitation du potentiel sismique des étoiles naines blanches

Le but de cette thèse est d’explorer le potentiel sismique des étoiles naines blanches pulsantes, et en particulier celles à atmosphères riches en hydrogène, les étoiles ZZ Ceti. La technique d’astérosismologie exploite l’information contenue dans les modes normaux de vibration qui peuvent être excités lors de phases particulières de l’évolution d’une étoile. Ces modes modulent le flux émergent de l’étoile pulsante et se manifestent principalement en termes de variations lumineuses multi-périodiques. L’astérosismologie consiste donc à examiner la luminosité d’étoiles pulsantes en fonction du temps, afin d’en extraire les périodes, les amplitudes apparentes, ainsi que les phases relatives des modes de pulsation détectés, en utilisant des méthodes standards de traitement de signal, telles que des techniques de Fourier. L’étape suivante consiste à comparer les périodes de pulsation observées avec des périodes générées par un modèle stellaire en cherchant l’accord optimal avec un modèle physique reconstituant le plus fidèlement possible l’étoile pulsante. Afin d’assurer une recherche optimale dans l’espace des paramètres, il est nécessaire d’avoir de bons modèles physiques, un algorithme d’optimisation de comparaison de périodes efficace, et une puissance de calcul considérable. Les périodes des modes de pulsation de modèles stellaires de naines blanches peuvent être généralement calculées de manière précise et fiable sur la base de la théorie linéaire des pulsations stellaires dans sa version adiabatique. Afin de définir dans son ensemble un modèle statique de naine blanche propre à l’analyse astérosismologique, il est nécessaire de spécifier la gravité de surface, la température effective, ainsi que différents paramètres décrivant la disposition en couche de l’enveloppe. En utilisant parallèlement les informations obtenues de manière indépendante (température effective et gravité de surface) par la méthode spectroscopique, il devient possible de vérifier la validité de la solution obtenue et de restreindre de manière remarquable l’espace des paramètres. L’exercice astérosismologique, s’il est réussi, mène donc à la détermination précise des paramètres de la structure globale de l’étoile pulsante et fournit de l’information unique sur sa structure interne et l’état de sa phase évolutive. On présente dans cette thèse l’analyse complète réussie, de l’extraction des fréquences à la solution sismique, de quatre étoiles naines blanches pulsantes. Il a été possible de déterminer les paramètres structuraux de ces étoiles et de les comparer remarquablement à toutes les contraintes indépendantes disponibles dans la littérature, mais aussi d’inférer sur la dynamique interne et de reconstruire le profil de rotation interne. Dans un premier temps, on analyse le duo d’étoiles ZZ Ceti, GD 165 et Ross 548, afin de comprendre les différences entre leurs propriétés de pulsation, malgré le fait qu’elles soient des étoiles similaires en tout point, spectroscopiquement parlant. L’analyse sismique révèle des structures internes différentes, et dévoile la sensibilité de certains modes de pulsation à la composition interne du noyau de l’étoile. Afin de palier à cette sensibilité, nouvellement découverte, et de rivaliser avec les données de qualité exceptionnelle que nous fournissent les missions spatiales Kepler et Kepler2, on développe une nouvelle paramétrisation des profils chimiques dans le coeur, et on valide la robustesse de notre technique et de nos modèles par de nombreux tests. Avec en main la nouvelle paramétrisation du noyau, on décroche enfin le ”Saint Graal” de l’astérosismologie, en étant capable de reproduire pour la première fois les périodes observées à la précision des observations, dans le cas de l’étude sismique des étoiles KIC 08626021 et de GD 1212.