Development of new scenario decomposition techniques for linear and nonlinear stochastic programming

Une approche classique pour traiter les problèmes d’optimisation avec incertitude à deux- et multi-étapes est d’utiliser l’analyse par scénario. Pour ce faire, l’incertitude de certaines données du problème est modélisée par vecteurs aléatoires avec des supports finis spécifiques aux étapes. Chacune de ces réalisations représente un scénario. En utilisant des scénarios, il est possible d’étudier des versions plus simples (sous-problèmes) du problème original. Comme technique de décomposition par scénario, l’algorithme de recouvrement progressif est une des méthodes les plus populaires pour résoudre les problèmes de programmation stochastique multi-étapes. Malgré la décomposition complète par scénario, l’efficacité de la méthode du recouvrement progressif est très sensible à certains aspects pratiques, tels que le choix du paramètre de pénalisation et la manipulation du terme quadratique dans la fonction objectif du lagrangien augmenté. Pour le choix du paramètre de pénalisation, nous examinons quelques-unes des méthodes populaires, et nous proposons une nouvelle stratégie adaptive qui vise à mieux suivre le processus de l’algorithme. Des expériences numériques sur des exemples de problèmes stochastiques linéaires multi-étapes suggèrent que la plupart des techniques existantes peuvent présenter une convergence prématurée à une solution sous-optimale ou converger vers la solution optimale, mais avec un taux très lent. En revanche, la nouvelle stratégie paraît robuste et efficace. Elle a convergé vers l’optimalité dans toutes nos expériences et a été la plus rapide dans la plupart des cas. Pour la question de la manipulation du terme quadratique, nous faisons une revue des techniques existantes et nous proposons l’idée de remplacer le terme quadratique par un terme linéaire. Bien que qu’il nous reste encore à tester notre méthode, nous avons l’intuition qu’elle réduira certaines difficultés numériques et théoriques de la méthode de recouvrement progressif.

La distribution des zéros des fonctions L

Selon la philosophie de Katz et Sarnak, la distribution des zéros des fonctions $L$ est prédite par le comportement des valeurs propres de matrices aléatoires. En particulier, le comportement des zéros près du point central révèle le type de symétrie de la famille de fonctions $L$. Une fois la symétrie identifiée, la philosophie de Katz et Sarnak conjecture que plusieurs statistiques associées aux zéros seront modélisées par les valeurs propres de matrices aléatoires du groupe correspondant. Ce mémoire étudiera la distribution des zéros près du point central de la famille des courbes elliptiques sur $\mathbb{Q}[i]$. Brumer a effectué ces calculs en 1992 sur la famille de courbes elliptiques sur $\mathbb{Q}$. Les nouvelles problématiques reliées à la généralisation de ses travaux vers un corps de nombres seront mises en évidence

Bidirectional Helmholtz Machines

L'entraînement sans surveillance efficace et inférence dans les modèles génératifs profonds reste un problème difficile. Une approche assez simple, la machine de Helmholtz, consiste à entraîner du haut vers le bas un modèle génératif dirigé qui sera utilisé plus tard pour l'inférence approximative. Des résultats récents suggèrent que de meilleurs modèles génératifs peuvent être obtenus par de meilleures procédures d'inférence approximatives. Au lieu d'améliorer la procédure d'inférence, nous proposons ici un nouveau modèle, la machine de Helmholtz bidirectionnelle, qui garantit qu'on peut calculer efficacement les distributions de haut-vers-bas et de bas-vers-haut. Nous y parvenons en interprétant à les modèles haut-vers-bas et bas-vers-haut en tant que distributions d'inférence approximative, puis ensuite en définissant la distribution du modèle comme étant la moyenne géométrique de ces deux distributions. Nous dérivons une borne inférieure pour la vraisemblance de ce modèle, et nous démontrons que l'optimisation de cette borne se comporte en régulisateur. Ce régularisateur sera tel que la distance de Bhattacharyya sera minisée entre les distributions approximatives haut-vers-bas et bas-vers-haut. Cette approche produit des résultats de pointe en terme de modèles génératifs qui favorisent les réseaux significativement plus profonds. Elle permet aussi une inférence approximative amérliorée par plusieurs ordres de grandeur. De plus, nous introduisons un modèle génératif profond basé sur les modèles BiHM pour l'entraînement semi-supervisé.