Esquemas de volúmenes finitos de alto orden: implementación en GPUs y aplicación a la simulación de flujos geofísicos

En esta tesis doctoral se exponen los fundamentos teóricos necesarios en el diseño de esquemas numéricos de volúmenes finitos para sistemas hiperbólicos no conservativos de una y dos dimensiones. Para el caso unidimensional se repasan los conceptos de esquema camino-conservativo y esquema bien equilibrado, así como la extensión de los esquemas numéricos a alto orden, basados en la reconstrucción de estados. En particular, se presentan los esquemas de tipo PVM (Polynomial Viscosity Matrix), así como diversos esquemas de limitadores de flujo que resultan de la extensión natural del método WAF, utilizando como base algunos esquemas de tipo PVM. Para el caso bidimensional se aborda el diseño de esquemas numéricos camino-conservativos y bien equilibrados de volúmenes finitos para sistemas hiperbólicos no conservativos y su extensión a alto orden, en particular se presenta una reconstrucción de estados de tercer orden compacta y que resulta de la combinación WENO de paraboloides y planos. 
 Se presenta además el desarrollo de métodos numéricos para el sistema de aguas someras bidimensional de una capa. En particular se definen esquemas de primer orden de tipo HLL y FORCE y su extensión a alto orden, un método de limitadores de flujo basado en el esquema HLL-WAF, así como su implementación en arquitecturas de tipo GPU, usando el entorno de programación CUDA. A continuación, se presenta un esquema numérico de orden uno para el sistema de aguas someras de una capa bidimensional en coordenadas esféricas (longitud/latitud), así como la extensión natural del método de limitadores de flujo presentado en el Capítulo 3 a este sistema. Finalmente, se presenta la validación del esquema de limitadores de flujo mediante la simulación de tsunamis reales, y la comparación con datos de campo.

Metodología Multimedia y Evolución del Pensamiento Matemático Ordinal Prenumérico en escolares de 3 a 7 años

En esta investigación se aborda el problema de analizar y conocer una parte de la evolución del Pensamiento Ordinal prenumérico y recursivo en escolares de 3 a 7 años, como parte y fundamento de la evolución cognitiva del Pensamiento Numérico y Aritmético, y comprobar si la utilización de una metodología de investigación basada en la tecnología multimedia (Metodología Multimedia) proporciona información válida y relevante sobre dicha evolución. Para el desarrollo del estudio se ha empleado una metodología mixta con dos componentes principales: • La componente teórica, dirigida a fundamentar y validar el marco conceptual así como el procedimiento y los resultados obtenidos. Dicha fundamentación en los niveles matemático, epistemológico y fenomenológico se complementa con los antecedentes específicos de los dos campos básicos del estudio: pensamiento ordinal y tecnología multimedia. • La componente empírica, orientada a obtener información sobre los comportamientos de sujetos en torno a los aspectos fundamentales del problema de investigación, mediante la aplicación de los bloques de tareas multimedia, el análisis e interpretación de las respuestas, la identificación de las estrategias utilizadas y los errores cometidos, la determinación de perfiles y niveles de competencias ordinales y la determinación de las características básicas del desarrollo y la evolución con la edad de dichas capacidades y competencias. La culminación del estudio teórico ha consistido en la construcción de un modelo evolutivo de competencias ordinales y recursivas (MECOR) ), que proporciona un marco interpretativo de las características, regularidades y evolución del Pensamiento Ordinal Preinductivo en escolares de 3 a 7 años, y de un modelo general para el diseño del ítem multimedia (MGDIM) que permite establecer un procedimiento general que hemos definido y denominado "Metodología Multimedia" para la investigación en Educación Matemática, y en otras áreas educativas, idónea para su utilización en estudios de masas. Las construcciones anteriores han permitido, como consecuencia, la elaboración de un instrumento metodológico operativo para el estudio de las características del pensamiento ordinal y su evolución en sujetos de 3 a 7 años de edad. Desde el punto de vista empírico se aplica el instrumento multimedia construido incluyendo los mecanismos necesarios para el registro automático de todas las interacciones de los sujetos con todas y cada una de las tareas del estudio, minimizando la interacción investigador--sujeto, constatándose la libertad y espontaneidad de las respuestas de los sujetos, la gran variedad de datos obtenidos y la facilidad de análisis de los comportamientos que proporcionan los instrumentos utilizados. Además de las indicadas, la investigación realiza las siguientes aportaciones: • Una explicación detallada de la evolución de una parte de las capacidades ordinales y recursivas en escolares de 3 a 7 años. • Una caracterización de niveles de competencia y determinación de las edades más frecuentes en las que tienen lugar los cambios de nivel. • La detección y clasificación de los errores cometidos y las estrategias utilizadas. • La identificación de las edades a las que aparece: a) el uso de capacidades recursivas frente al mero etiquetaje, b) la distinción entre cantidad continua y discreta en la resolución de tareas ordinales, c) el conteo ordinal frente a otras estrategias en la resolución de tareas ordinales con cantidades discretas. • Una descripción general de las capacidades, competencias y estrategias asociadas a los estados del modelo (MECOR) por grupos de edad. • La determinación de modelos de ajuste no lineales para la evolución de las medias de las valoraciones por grupos de edad para cada una de las capacidades tratadas y la comprobación de que dichos modelos son más precisos que los ajustes lineales correspondientes. • Ejemplos prácticos de ítems multimedia para el desarrollo de investigaciones futuras. Sobre la relevancia de la investigación, podemos destacar entre otros los siguientes motivos: la necesidad de conocer en profundidad las características del pensamiento matemático de los alumnos de la etapa de Educación Infantil para mejorar el diseño y desarrollo didáctico del proceso formativo en dicha etapa, así como la necesidad de encontrar procedimientos y métodos orientados a disminuir los inconvenientes tradicionales que surgen en las investigaciones con sujetos de tan corta edad. Por otra parte creemos que el estudio es del máximo interés por la novedad de los instrumentos utilizados, la importancia del tema analizado y la proyección que los conocimientos pueden tener sobre nuevas formas de ver y tratar los contenidos matemáticos, nuevos métodos de investigación así como nuevas formas de abordar el diseño y desarrollo didáctico en las etapas de Educación Infantil y Primaria. Desde el punto de vista de la metodología, consideramos de vital importancia la validación de una metodología nueva que puede aportar información privilegiada sobre el aprendizaje y la cognición de sujetos cuyos comportamientos y respuestas se han caracterizado desde hace tiempo por su enorme dificultad de interpretación y, consecuentemente, por las dudas en cuanto a la validez y fiabilidad de los resultados. En este sentido creemos que estamos ante una de las metodologías que pueden aportar avances notables en el campo de la investigación en Educación Matemática.