A pointwise constrained version of the Liapunov convexity theorem for vectorial linear first-order control systems

We generalize the Liapunov convexity theorem's version for vectorial control systems driven by linear ODEs of first-order p = 1 , in any dimension d ∈ N , by including a pointwise state-constraint. More precisely, given a x ‾ ( ⋅ ) ∈ W p , 1 ( [ a , b ] , R d ) solving the convexified p-th order differential inclusion L p x ‾ ( t ) ∈ co { u 0 ( t ) , u 1 ( t ) , … , u m ( t ) } a.e., consider the general problem consisting in finding bang-bang solutions (i.e. L p x ˆ ( t ) ∈ { u 0 ( t ) , u 1 ( t ) , … , u m ( t ) } a.e.) under the same boundary-data, x ˆ ( k ) ( a ) = x ‾ ( k ) ( a ) & x ˆ ( k ) ( b ) = x ‾ ( k ) ( b ) ( k = 0 , 1 , … , p − 1 ); but restricted, moreover, by a pointwise state constraint of the type 〈 x ˆ ( t ) , ω 〉 ≤ 〈 x ‾ ( t ) , ω 〉 ∀ t ∈ [ a , b ] (e.g. ω = ( 1 , 0 , … , 0 ) yielding x ˆ 1 ( t ) ≤ x ‾ 1 ( t ) ). Previous results in the scalar d = 1 case were the pioneering Amar & Cellina paper (dealing with L p x ( ⋅ ) = x ′ ( ⋅ ) ), followed by Cerf & Mariconda results, who solved the general case of linear differential operators L p of order p ≥ 2 with C 0 ( [ a , b ] ) -coefficients. This paper is dedicated to: focus on the missing case p = 1 , i.e. using L p x ( ⋅ ) = x ′ ( ⋅ ) + A ( ⋅ ) x ( ⋅ ) ; generalize the dimension of x ( ⋅ ) , from the scalar case d = 1 to the vectorial d ∈ N case; weaken the coefficients, from continuous to integrable, so that A ( ⋅ ) now becomes a d × d -integrable matrix; and allow the directional vector ω to become a moving AC function ω ( ⋅ ) . Previous vectorial results had constant ω, no matrix (i.e. A ( ⋅ ) ≡ 0 ) and considered: constant control-vertices (Amar & Mariconda) and, more recently, integrable control-vertices (ourselves).

Iniciação à Programação no 1.º ciclo do Ensino Básico. Estudo de avaliação.

Os estudos que aqui se apresentam correspondem à avaliação da Iniciativa Iniciação à Programação nas Escolas do 1.º ciclo em Portugal (adiante designada de IP1 ou simplesmente Iniciativa) desenvolvida durante o ano letivo de 2015-2016. Considerando a natureza de projeto-piloto da IP1, bem como as suas finalidades e características é adotada uma perspetiva de avaliação global, formativa e participada que assegurou a recolha de informação fundamental aos processos de tomada de decisão que visem o conhecimento sobre a implementação da Iniciativa e a sua eventual generalização à população das escolas do 1.º ciclo em Portugal. Os estudos de avaliação realizados têm como finalidade contribuir para o conhecimento e compreensão aprofundada das condições humanas e materiais em que a iniciativa IP1 foi implementada  no conjunto das escolas e dos agrupamentos incluindo aqueles aspetos que possam vir a ser melhorados de modo a aumentar a eficácia de propostas futuras a desenvolver, identificando  os pontos fortes e fracos bem como antecipando a avaliação de impacto que terá no momento da sua generalização a toda a população das escolas do 1.º ciclo em Portugal Tratando-se de um projeto-piloto espera-se que os resultados dos estudos de avaliação a realizar possam constituir um contributo para o conhecimento detalhado das estratégias de implementação levadas a cabo pelas Escolas e identificar prioridades, estabelecer procedimentos e requisitos que apoiem os processos de tomada de decisão, adquirindo pela via da investigação e da avaliação, o conhecimento antecipado das condições para efetuar a generalização prevista. A avaliação da IP1 foi desenhada e implementada a partir de duas linhas metodológicas de investigação, distintas, mas complementares e que deram lugar a 4 (quatro) estudos de avaliação. A primeira linha, de natureza quantitativa, inclui os estudos I e II e destina-se à avaliação global da IP1 através da recolha de elementos e indicadores de impacto quer ao nível da Escola quer ao nível dos professores e dos alunos. Os estudos I e II tiveram como opção metodológica o inquérito por questionário. A segunda linha de estudo, com carácter mais qualitativo inclui os estudos III e IV e destina-se a analisar e a compreender de forma mais aprofundada quer as ações realizadas pelas entidades parceiras ao longo da Iniciativa (nomeadamente as estratégias de coordenação, formação, acompanhamento e monitorização da Iniciativa) quer os eventuais impactos da Iniciativa observáveis nas Escolas. O estudo III teve como opções metodológicas a entrevista focus-group aos parceiros e outras entidades institucionais associadas à Iniciativa, a análise de conteúdo de material empírico recolhido através de questões abertas e pela preferência de cenários de alargamento da IP1. O estudo IV teve como opções o estudo de caso que recorreu a visitas “in situ” a escolas envolvidas na IP1. Em cada estudo de caso recorremos à observação de aulas, às entrevistas a professores e alunos e à análise documental, como técnicas de recolha de dados, de acordo com um protocolo de investigação comum a todos estudos. São apresentadas e discutidas as principais conclusões dos estudos de investigação e avaliação realizados, respeitando a estrutura organizativa adotada desde o seu início.