Aspects of atomic decompositions and Bergman projections

The concept of an atomic decomposition was introduced by Coifman and Rochberg (1980) for weighted Bergman spaces on the unit disk. By the Riemann mapping theorem, functions in every simply connected domain in the complex plane have an atomic decomposition. However, a decomposition resulting from a conformal mapping of the unit disk tends to be very implicit and often lacks a clear connection to the geometry of the domain that it has been mapped into. The lattice of points, where the atoms of the decomposition are evaluated, usually follows the geometry of the original domain, but after mapping the domain into another this connection is easily lost and the layout of points becomes seemingly random. In the first article we construct an atomic decomposition directly on a weighted Bergman space on a class of regulated, simply connected domains. The construction uses the geometric properties of the regulated domain, but does not explicitly involve any conformal Riemann map from the unit disk. It is known that the Bergman projection is not bounded on the space L-infinity of bounded measurable functions. Taskinen (2004) introduced the locally convex spaces LV-infinity consisting of measurable and HV-infinity of analytic functions on the unit disk with the latter being a closed subspace of the former. They have the property that the Bergman projection is continuous from LV-infinity onto HV-infinity and, in some sense, the space HV-infinity is the smallest possible substitute to the space H-infinity of analytic functions. In the second article we extend the above result to a smoothly bounded strictly pseudoconvex domain. Here the related reproducing kernels are usually not known explicitly, and thus the proof of continuity of the Bergman projection is based on generalised Forelli-Rudin estimates instead of integral representations. The minimality of the space LV-infinity is shown by using peaking functions first constructed by Bell (1981). Taskinen (2003) showed that on the unit disk the space HV-infinity admits an atomic decomposition. This result is generalised in the third article by constructing an atomic decomposition for the space HV-infinity on a smoothly bounded strictly pseudoconvex domain. In this case every function can be presented as a linear combination of atoms such that the coefficient sequence belongs to a suitable Köthe co-echelon space.

On Orlicz-Sobolev capacities

This thesis consists of three articles on Orlicz-Sobolev capacities. Capacity is a set function which gives information of the size of sets. Capacity is useful concept in the study of partial differential equations, and generalizations of exponential-type inequalities and Lebesgue point theory, and other topics related to weakly differentiable functions such as functions belonging to some Sobolev space or Orlicz-Sobolev space. In this thesis it is assumed that the defining function of the Orlicz-Sobolev space, the Young function, satisfies certain growth conditions. In the first article, the null sets of two different versions of Orlicz-Sobolev capacity are studied. Sufficient conditions are given so that these two versions of capacity have the same null sets. The importance of having information about null sets lies in the fact that the sets of capacity zero play similar role in the Orlicz-Sobolev space setting as the sets of measure zero do in the Lebesgue space and Orlicz space setting. The second article continues the work of the first article. In this article, it is shown that if a Young function satisfies certain conditions, then two versions of Orlicz-Sobolev capacity have the same null sets for its complementary Young function. In the third article the metric properties of Orlicz-Sobolev capacities are studied. It is usually difficult or impossible to calculate a capacity of a set. In applications it is often useful to have estimates for the Orlicz-Sobolev capacities of balls. Such estimates are obtained in this paper, when the Young function satisfies some growth conditions.

Att äta eller inte äta, att äta nu eller senare. En studie i ätstörningar ur ett samhällsvetenskapligt perspektiv

Tiivistelmä – Referat – Abstract Anorexi ses i Finland som en psykisk sjukdom med en psykopatologi, som bland andra innefattar rädsla för att bli fet. I min undersökning har jag fått fram tre huvudteman, som förutom andra bakomliggande omständigheter, bidragit till ett insjuknande. De handlar om anorexi som livsstil, bantning och viljan att leva sunt och äta rätt. Med den vaknande sexualiteten väcks intresset för det andra könet och för kroppens utseende i övrigt. I bakgrunden finns känslor av bl.a. ensamhet, ett sökande efter den egna personligheten, ångest och depression. Jag har byggt min studie på patienternas egna berättelser om sitt liv. Perspektivet är samhällsinriktat, och som analysmetod har jag använt mig av narrativet. Jag har lånat idéer både från Vilma Hänninens (1999), Gerhard Riemann och Fritz Schützes (1991) narrativa modeller, och rör mig mellan dem båda. Jag har i första hand intresserat mig för tiden före insjuknandet och de bakomliggande orsaker, som kan tänkas befrämja insjuknandet. Jag har speglat anorektikernas problematik i bl.a. Anthony Giddens (1997) och Zygmund Baumans (1999) teorier om det postmoderna samhället, och ser ätstörningar som en uttrycksform för dåligt befinnande. Samhällsklimatet har blivit hårdare och omsorgen om personer i omgivningen har glömts bort. Vi lever, enligt Giddens (1997), i en skenande värld, viket betyder att förändringarna påverkar existerande beteendemönster i större omfattning och på ett djupare plan än tidigare. Enligt Pennanen (2000) är målsättningen för ätstörningspatienter stressande, svåruppnådd och svårkontrollerbar. Mina informanter berättar om höga målsättningar, prestationskrav, dålig självkänsla och skam över sina kroppar. För att tillfriskna behövs stöd. Men det vikigaste är att personen själv vill bli frisk, och själv ta ansvar för sitt tillfrisknande. Sjukdomen är individuell. Varje person, upplever sin sjukdom personligt men anorektikerna har också många styrkor i sin sjukdom. Avainsanat – Nyckelord – Keywords ätstörningar, anorexi, bulimi

Att äta eller inte äta, att äta nu eller senare. En studie i ätstörningar ur ett samhällsvetenskapligt perspektiv

Anorexi ses i Finland som en psykisk sjukdom med en psykopatologi, som bland andra innefattar rädsla för att bli fet. I min undersökning har jag fått fram tre huvudteman, som förutom andra bakomliggande omständigheter, bidragit till ett insjuknande. De handlar om anorexi som livsstil, bantning och viljan att leva sunt och äta rätt. Med den vaknande sexualiteten väcks intresset för det andra könet och för kroppens utseende i övrigt. I bakgrunden finns känslor av bl.a. ensamhet, ett sökande efter den egna personligheten, ångest och depression. Jag har byggt min studie på patienternas egna berättelser om sitt liv. Perspektivet är samhällsinriktat, och som analysmetod har jag använt mig av narrativet. Jag har lånat idéer både från Vilma Hänninens (1999), Gerhard Riemann och Fritz Schützes (1991) narrativa modeller, och rör mig mellan dem båda. Jag har i första hand intresserat mig för tiden före insjuknandet och de bakomliggande orsaker, som kan tänkas befrämja insjuknandet. Jag har speglat anorektikernas problematik i bl.a. Anthony Giddens (1997) och Zygmund Baumans (1999) teorier om det postmoderna samhället, och ser ätstörningar som en uttrycksform för dåligt befinnande. Samhällsklimatet har blivit hårdare och omsorgen om personer i omgivningen har glömts bort. Vi lever, enligt Giddens (1997), i en skenande värld, viket betyder att förändringarna påverkar existerande beteendemönster i större omfattning och på ett djupare plan än tidigare. Enligt Pennanen (2000) är målsättningen för ätstörningspatienter stressande, svåruppnådd och svårkontrollerbar. Mina informanter berättar om höga målsättningar, prestationskrav, dålig självkänsla och skam över sina kroppar. För att tillfriskna behövs stöd. Men det vikigaste är att personen själv vill bli frisk, och själv ta ansvar för sitt tillfrisknande. Sjukdomen är individuell. Varje person, upplever sin sjukdom personligt men anorektikerna har också många styrkor i sin sjukdom.

Playing Games on Sets and Models

The most prominent objective of the thesis is the development of the generalized descriptive set theory, as we call it. There, we study the space of all functions from a fixed uncountable cardinal to itself, or to a finite set of size two. These correspond to generalized notions of the universal Baire space (functions from natural numbers to themselves with the product topology) and the Cantor space (functions from natural numbers to the {0,1}-set) respectively. We generalize the notion of Borel sets in three different ways and study the corresponding Borel structures with the aims of generalizing classical theorems of descriptive set theory or providing counter examples. In particular we are interested in equivalence relations on these spaces and their Borel reducibility to each other. The last chapter shows, using game-theoretic techniques, that the order of Borel equivalence relations under Borel reduciblity has very high complexity. The techniques in the above described set theoretical side of the thesis include forcing, general topological notions such as meager sets and combinatorial games of infinite length. By coding uncountable models to functions, we are able to apply the understanding of the generalized descriptive set theory to the model theory of uncountable models. The links between the theorems of model theory (including Shelah's classification theory) and the theorems in pure set theory are provided using game theoretic techniques from Ehrenfeucht-Fraïssé games in model theory to cub-games in set theory. The bottom line of the research declairs that the descriptive (set theoretic) complexity of an isomorphism relation of a first-order definable model class goes in synch with the stability theoretical complexity of the corresponding first-order theory. The first chapter of the thesis has slightly different focus and is purely concerned with a certain modification of the well known Ehrenfeucht-Fraïssé games. There we (me and my supervisor Tapani Hyttinen) answer some natural questions about that game mainly concerning determinacy and its relation to the standard EF-game

A maximal operator, Carleson's embedding, and tent spaces for vector-valued functions

This thesis is concerned with the area of vector-valued Harmonic Analysis, where the central theme is to determine how results from classical Harmonic Analysis generalize to functions with values in an infinite dimensional Banach space. The work consists of three articles and an introduction. The first article studies the Rademacher maximal function that was originally defined by T. Hytönen, A. McIntosh and P. Portal in 2008 in order to prove a vector-valued version of Carleson's embedding theorem. The boundedness of the corresponding maximal operator on Lebesgue-(Bochner) -spaces defines the RMF-property of the range space. It is shown that the RMF-property is equivalent to a weak type inequality, which does not depend for instance on the integrability exponent, hence providing more flexibility for the RMF-property. The second article, which is written in collaboration with T. Hytönen, studies a vector-valued Carleson's embedding theorem with respect to filtrations. An earlier proof of the dyadic version assumed that the range space satisfies a certain geometric type condition, which this article shows to be also necessary. The third article deals with a vector-valued generalizations of tent spaces, originally defined by R. R. Coifman, Y. Meyer and E. M. Stein in the 80's, and concerns especially the ones related to square functions. A natural assumption on the range space is then the UMD-property. The main result is an atomic decomposition for tent spaces with integrability exponent one. In order to suit the stochastic integrals appearing in the vector-valued formulation, the proof is based on a geometric lemma for cones and differs essentially from the classical proof. Vector-valued tent spaces have also found applications in functional calculi for bisectorial operators. In the introduction these three themes come together when studying paraproduct operators for vector-valued functions. The Rademacher maximal function and Carleson's embedding theorem were applied already by Hytönen, McIntosh and Portal in order to prove boundedness for the dyadic paraproduct operator on Lebesgue-Bochner -spaces assuming that the range space satisfies both UMD- and RMF-properties. Whether UMD implies RMF is thus an interesting question. Tent spaces, on the other hand, provide a method to study continuous time paraproduct operators, although the RMF-property is not yet understood in the framework of tent spaces.