Yhteistoiminnallinen opetuspaketti lukion pitkän matematiikan Polynomifunktiot-kurssilla käytettäväksi

Tutkielmassa tarkastellaan yhteistoiminnallisen oppimisen soveltamismahdollisuuksia lukion pitkän matematiikan opettamiseen. Tutkielmassa on suunniteltu yhteistoiminnallinen opetuspaketti lukion pitkän matematiikan Polynomifunktiot-kurssille. Tutkielman ensimmäisessä teoriaosassa tarkastellaan yhteistoiminnallisen oppimisen periaatteita ja esitellään neljä yhteistoiminnallisen oppimisen menetelmää: rakenteellinen lähestymistapa, tiimioppiminen ryhmässä, ryhmäavusteinen yksilöllistäminen ja palapeli. Lisäksi teoriaosassa tuodaan esille niitä tekijöitä, jotka opettajan täytyy huomioida soveltaessaan esiteltyjä menetelmiä omaan opetukseensa sekä suunnitellessaan tehtäväkokonaisuuksia. Lopuksi tarkastellaan aiemmin tehtyjä tutkimuksia yhteistoiminnallisen oppimisen soveltamisesta matematiikan opetukseen. Tutkielman toisessa teoriaosassa esitellään klassisen algebran historiaa ja polynomifunktioihin liittyviä määritelmiä, lauseita ja niiden todistuksia sekä esimerkkejä. Opetuspaketti koostuu neljästä tehtäväkokonaisuudesta: epäyhtälön ratkaiseminen, polynomilaskennan kertaus, toisen asteen polynomifunktio ja -yhtälö sekä korkeamman asteen polynomifunktioiden tutkiminen. Lisäksi opetuspaketissa on yleinen esimerkki yhteistoiminnallisen oppitunnin rakenteesta. Opetuspaketin lopussa on raportti eräässä lukiossa suoritetusta testauksesta sekä sen tuloksista. Aiempien tutkimusten sekä tämän tutkielman yhteydessä tehdyn testauksen perusteella voidaan sanoa, että yhteistoiminnallinen oppiminen soveltuu lukion matematiikan opetukseen.

Nashin tasapainon löytämisen laskennallinen vaativuus

Tässä tutkielmassa käsitellään approksimatiivisen Nashin tasapainon löytämisongelmaa laskennallisen vaativuuden kannalta. Vaikka Nashin tasapainon tiedetään olevan aina olemassa, on tasapainon löytäminen osoittautunut vaikeaksi ongelmaksi. Approksimatiivisen Nashin tasapainon löytämisongelma on PPAD-ongelmaluokan täydellinen ongelma. PPAD-luokkaan kuuluvat sellaiset etsintäongelmat, joissa etsittävän ratkaisun olemassaolo seuraa suunnattujen graafien pariteettiargumentista. Suunnattujen graafien pariteettiargumentti toteaa, että jos graafin jokaisen solmun lähtö- ja tuloasteet ovat korkeintaan yksi ja graafissa on tunnettu lähdesolmu, niin graafissa on myös nielusolmu tai toinen lähdesolmu. PPAD-täydellisyyden takia on luultavaa, ettei approksimatiivista Nashin tasapainoa voi löytää polynomisessa ajassa. Tässä kirjoituksessa esitetään uudelleenmuotoiltu ja tarkennettu versio approksimatiivisen Nashin tasapainon löytämisongelman PPAD-vaikeustodistuksesta. Lisäksi esitetään todistus ongelman kuulumiselle luokkaan PPAD. Vastaavaa todistusta ei löydy kirjallisuudesta, vaikka approksimatiivisen Nashin tasapainon löytämisongelman kuuluminen luokkaan PPAD mainitaan.

Sairaanhoitajaopiskelijoiden lääkelaskentataidot

Tutkimuksen tarkoituksena oli selvittää ja kuvailla sairaanhoitajaopiskelijoiden matemaattisia taitoja ennen ja jälkeen lääkelaskennan opetuksen. Tutkimuksessa selvitettiin, johtuvatko sairaanhoitajaopiskelijoiden lääkelaskennan kokeessa tapahtuvat virheet opiskelijoiden puutteellisista matemaattisista taidoista vai matematiikasta lääkelaskennan yhteydessä, ilmenikö ammattikoulu- ja ylioppilastutkinnon suorittaneiden opiskelijoiden välillä eroa tehtävissä suoriutumisen ja kokeesta läpipääsyn suhteen. Tutkimus suoritettiin kahdessa vaiheessa. Ennen lääkelaskennan opetusta opiskelijat täyttivät laskutaitojen kartoitus lähtö-tasotestin ja lääkelaskennan opetuksen päätteeksi arvioitiin opiskelijoiden koevastauspapereita. Tutkimuksessa oli mukana sekä ammattikoulun että lukion suorittaneita sairaanhoitajaopiskelijoita. Analysoidessa käytettiin keskiarvoja, hajontaa, frekvenssejä ja graafisia kuvioita kuvaamaan aineistoa. Tutkimuksen mukaan sairaanhoitajaopiskelijoilla on puutteelliset peruslaskutaidot. Lähtötasotestin vastauksista keskimäärin kaksi kolmasosaa oli oikein, muihin opiskelijat olivat jättäneet vastaamatta tai olivat laskeneet väärin. Eniten vastaamatta jätettiin desimaali- ja murtolukujen jakolaskuihin sekä prosentin, desimaaliluvun ja murtoluvun yhteyttä käsittelevään tehtävään. Ratkaistuista tehtävistä viidennes oli väärin. Vain yksi opiskelija laski kaikki lähtötasotestin tehtävät oikein. Paras neljännes sai vähintään 78 prosenttia vastauksistaan oikein. Ongelmia tuottivat desimaali- ja murtolukulaskut sekä yksikönmuunnoksista mikrogramman muuttaminen grammoiksi. Peruslaskutoimituksista yhteenlaskut sujuivat opiskelijoilta parhaiten, jakolaskut tuottivat opiskelijoille eniten vaikeuksia. Sanallisiin tehtävissä neljännes teki virheen. Virheistä yli puolet johtui siitä, ettei yhtälöä oltu osattu muodostaa lainkaan tai se oli muodostettu väärin. Kaksi viidesosaa käytti sanallisten tehtävien ratkaisutapanaan verrantoa ja kaksi viidesosaa annoskaava- tai prosenttikerroinajattelua. Päättelemällä tehtävät ratkaisi vajaa viidennes opiskelijoista. Lääkelaskennan kokeet läpäisi neljännes opiskelijoista. Kolmannes virheistä johtui siitä, ettei tehtävää oltu aloitettu oikein. Neljännes niistä, ettei opiskelijat osanneet antaa vastausta halutussa muodossa, tai jokin tehtävän oleellinen tieto oli jäänyt huomioimatta ja siten vastaus jäänyt vaillinaiseksi. Viidennes virheistä johtui kerto- tai jakolaskuvirheestä. Kaksi kolmasosaa virheistä oli käsitteellisiä, neljännes laskuvirheitä ja joka kymmenes liittyi yksikönmuunnoksiin. Lääkelaskennan kokeissa puolet käytti ratkaisutapanaan verrantoa. Koulutustaustalla ei ilmennyt vaikutusta tehtävissä suoriutumiseen ja kokeiden läpipääsyyn. Opettajia suositellaan käyttämään lääkelaskennan opetuksessa matematiikan apuvälineitä tehtävien havainnollistamiseksi.

Komplexa tal - vad är det?

Komplexa tal har traditionellt undervisats i de finländska gymnasierna som en valbar kurs. Denna situation har förändrats i och med de nya läroplanerna som tagits i bruk senast hösten 2005. Den nya, striktare läroplanen ger inte lika stora valmöjligheter för skolorna att bestämma undervisningsstoffet, inte ens för de valbara kurserna, och därför har många gymnasier varit tvungna att sluta undervisa om komplexa tal. För att fortsättningsvis ge en möjlighet för gymnasieelever att studera komplexa tal finns detta kompendium. Kompendiet fyller två syften. I de gymnasier där komplexa tal fortfarande finns med i läroplanen kan kompendiet användas som läromedel på ifrågavarande kurs. Kompendiet torde vara önskat eftersom det inte existerar något modernt, finlandssvenskt läromedel där de komplexa talen tas upp. Kompendiets andra, huvudsakliga syfte är att finnas till att ge en möjlighet för de elever, som inte går ett gymnasium där komplexa tal undervisas, att på egen hand lära sig grunder om komplexa tal. Kunskap om utvidgandet av talområdet från reella talen till komplexa hör till matematisk allmänbildning, och är till stor nytta om man är intresserad av att fortsätta studera matematik eller naturvetenskaper efter gymnasiet. Kompendiet kommer att läggas ut på nätet för att få det lättillgängligt. I det första kapitlet behandlas matematikens uppkomst. Det andra kapitlet är en introduktion till varför man behöver komplexa tal, där gås tal- och mängdlära igenom samtidigt som de i kompendiet använda beteckningarna introduceras. I det tredje kapitlet behandlas de komplexa talen; grundläggande räkneregler, absolutbelopp och argument, komplexa tal i polär form och lösning till högregradsekvationer är centrala begrepp. de Moivers formel är ett av de viktigare målen, även Eulers formel behandlas kort. Problematik med negativa kvadratrötter tas också upp. Det fjärde kapitlet handlar om de komplexa talens intressanta historia. I kompendiet finns rikligt med exempel och övningsuppgifter. Kapitel fem innehåller extra övningsuppgifter och i kapitel sex finns lösningarna till samtliga uppgifter. Trots att kompendiets omfång avsevärt ökas i och med dessa lösningar är det av värde att de finns med för att kompendiets huvudsakliga syfte skall uppfyllas: att eleverna på egen hand skall kunna lära sig stoffet.