Homogenization of elliptic problems in thin domains with oscillatory boundaries

Los dominios finos, es decir, dominios sustancialmente más pequeños en alguna o varias de sus direcciones que en el resto, aparecen en muchos campos de la ciencia. Por ejemplo, dinámica de fluídos (lubricación, conducción de fluídos en tubos delgados, dinámica de oceanos...), mecánica de sólidos (barras delgadas, placas o cáscaras) o incluso en fisiología (circulación de la sangre). Así, el amplio número de posibles aplicaciones a situaciones reales ha hecho que la investigación de modelos de ecuaciones en derivadas parciales en dominios finos se convierta en un tema muy estudiado en los últimos años. Desde un punto de vista matemático, el estudio de las soluciones de una EDP en un dominio fino es un caso particular de la cuestión general relativa a cómo la variación de los dominios afecta al comportamiento de las soluciones de la EDP. En este marco, obtener la ecuación límite del modelo considerado, comparar la solución de la ecuación límite y las soluciones del problema en el dominio fino, analizar los coeficientes de la ecuación límite y comprender cómo la geometría del dominio afecta a la ecuación límite son algunos de los objetivos que deberían ser alcanzados. De hecho, es importante señalar que este tipo de cuestiones no sólo proporcionan importantes resultados teóricos sino que son muy relevantes desde el punto de vista de las aplicaciones. Por ejemplo, ser capaz de reducir el problema original a un problema mucho más sencillo, problema límite, que refleje las principales características del problema de partida puede ser muy útil para ingenieros y físicos...

Quenching phenomenon of singular parabolic problems with L1 initial data

We extend some previous existence results for quenching type parabolic problems involving a negative power of the unknown in the equation to the case of merely integrable initial data. We show that L1 Ω is the suitable framework to obtain the continuous dependence with respect to some norm of the initial datum; This way we answer to the question raised by several authors in the previous literature. We also show the complete quenching phenomena for such a L1-initial datum.

Linear non-local diffusion problems in metric measure spaces

The aim of this paper is to provide a comprehensive study of some linear non-local diffusion problems in metric measure spaces. These include, for example, open subsets in ℝN, graphs, manifolds, multi-structures and some fractal sets. For this, we study regularity, compactness, positivity and the spectrum of the stationary non-local operator. We then study the solutions of linear evolution non-local diffusion problems, with emphasis on similarities and differences with the standard heat equation in smooth domains. In particular, we prove weak and strong maximum principles and describe the asymptotic behaviour using spectral methods.