Sistemas integrables discretos, polinomios matriciales ortogonales y problemas de Riemann-Hilbert

El propósito de esta tesis doctoral es el estudio de la conexión, mediante el problema de Riemann-Hilbert, entre sistemas discretos y la teoría de polinomios matriciales ortogonales. La investigación de los modelos integrables se originó en la Mecánica Clásica, en relación a la resolución de las ecuaciones de Newton [2]. Los trabajos de Liouville, Hamilton, Jacobi y otros sentaron las bases de los sistemas integrables como prototipos modelos resolubles por cuadraturas, v.g., por integración directa [7]. Hay una cantidad importante de investigación dedicada a los aspectos geométricos de los sistemas clásicos integrables y superintegrables [66], [82], especialmente en relación a la separación de variables de la ecuación de Hamilton-Jacobi [75]. Fue la aplicación, en la segunda mitad del siglo pasado, de la transformada espectral inversa para la resolución del problema de Cauchy de la ecuación de Korteweg-de Vries [42, 43] la que marcó el inicio de una nueva etapa en este campo, el del estudio de sistemas integrables con un número infinito de grados de libertad, que generalmente se expresan en términos de jerarquías de ecuaciones no lineales en derivadas parciales. Particularmente reseñable, por su aplicación en la hidrodinámica y en la óptica cuántica, es la aparición de las soluciones a un número de solitones arbitrario. En las últimas tres décadas ha habido un importante interés por el estudio de modelos discretos, v.g., sistemas dinámicos de nidos en un retículo de puntos, y expresados en términos de ecuaciones no lineales en diferencia parciales. Muchas de las técnicas encontradas en el mundo continuo se extendieron a este nuevo contexto discreto. Hay dos razones fundamentales para este interés...

La narrativa de Sara Insúa

No resulta en absoluto desconocido que en las primeras décadas del siglo XX, precisamente desde 1900 hasta 1939, en España se inicia una época caracterizada por el florecimiento cultural y artístico en la que la mujer se incorpora al ámbito laboral y empieza a adquirir ciertos derechos de los que hasta entonces no gozaba. Tales cambios la llevan a desempeñar un papel eficaz en el ámbito político, cultural y social, superando los impedimentos convencionales que la mantienen al margen de la sociedad, dedicada exclusivamente al entorno familiar y el sagrado deber conyugal y maternal. A partir de 1914, debido a la incorporación femenina al campo laboral, el asociacionismo y las reivindicaciones vinculadas a la emancipación, empieza un momento de gran esplendor y toda la sociedad española experimenta grandes transformaciones. No es de extrañar, pues que la nueva España brinde una oportunidad a la mujer para acceder al ámbito literario, tras estar sometida al rechazo e intolerancia con que el siglo anterior vincula la relación femenina con la pluma, permitiéndole por fin, ejercer la actividad intelectual, aunque con ciertas limitaciones, debido a que la sociedad estaba aún influenciada por los cánones decimonónicos. En este contexto, he de señalar que la participación femenina en el mundo de la literatura fue muy relevante, aunque muchas de las autoras que empezaron su trayectoria en aquel periodo han sido relegadas al olvido. Una de estas escritoras es Sara Álvarez Insúa Escobar a la que elegí como tema de esta tesis doctoral con el fin de poner al descubierto su obra junto a su prolífica labor literaria en una etapa difícil para el reconocimiento profesional de la mujer. Por ello, el principal objetivo de este trabajo tiene como fin contribuir a la recuperación actual de su prestigio literario. Durante la fase de investigación, descubrí que Sara Insúa se encuentra entre las destacadas escritoras de la época de la "Edad de Plata" que dejan su impronta en la literatura escrita por mujeres en aquel momento y también noté que su obra sufre una gran desatención por parte de la crítica. Por ello, como primera fase de elaboración de ese estudio, tuve que recuperar y reconstruir una gran parte de sus datos biográficos...

Multivariate orthogonal polynomials and integrable systems

Multivariate orthogonal polynomials in D real dimensions are considered from the perspective of the Cholesky factorization of a moment matrix. The approach allows for the construction of corresponding multivariate orthogonal polynomials, associated second kind functions, Jacobi type matrices and associated three term relations and also Christoffel-Darboux formulae. The multivariate orthogonal polynomials, their second kind functions and the corresponding Christoffel-Darboux kernels are shown to be quasi-determinants as well as Schur complements of bordered truncations of the moment matrix; quasi-tau functions are introduced. It is proven that the second kind functions are multivariate Cauchy transforms of the multivariate orthogonal polynomials. Discrete and continuous deformations of the measure lead to Toda type integrable hierarchy, being the corresponding flows described through Lax and Zakharov-Shabat equations; bilinear equations are found. Varying size matrix nonlinear partial difference and differential equations of the 2D Toda lattice type are shown to be solved by matrix coefficients of the multivariate orthogonal polynomials. The discrete flows, which are shown to be connected with a Gauss-Borel factorization of the Jacobi type matrices and its quasi-determinants, lead to expressions for the multivariate orthogonal polynomials and their second kind functions in terms of shifted quasi-tau matrices, which generalize to the multidimensional realm, those that relate the Baker and adjoint Baker functions to ratios of Miwa shifted tau-functions in the 1D scenario. In this context, the multivariate extension of the elementary Darboux transformation is given in terms of quasi-determinants of matrices built up by the evaluation, at a poised set of nodes lying in an appropriate hyperplane in R^D, of the multivariate orthogonal polynomials. The multivariate Christoffel formula for the iteration of m elementary Darboux transformations is given as a quasi-determinant. It is shown, using congruences in the space of semi-infinite matrices, that the discrete and continuous flows are intimately connected and determine nonlinear partial difference-differential equations that involve only one site in the integrable lattice behaving as a Kadomstev-Petviashvili type system. Finally, a brief discussion of measures with a particular linear isometry invariance and some of its consequences for the corresponding multivariate polynomials is given. In particular, it is shown that the Toda times that preserve the invariance condition lay in a secant variety of the Veronese variety of the fixed point set of the linear isometry.