Topologies on groups related to the theory of shape and generalized coverings

El presente trabajo consiste en dos partes diferenciadas: la principal de ellas (Cap tulos 1 y 2) est a dedicada a introducir estructura adicional en grupos que aparecen de manera natural en el contexto de la teor a de la forma. En la segunda parte (Cap tulo 3), se plantea c omo generalizar la teor a de espacios recubridores y, en particular, se propone una l nea de trabajo relacionada con la teor a de la forma. El punto de partida de esta tesis doctoral son los trabajos [25, 26, 68, 69, 70] en los que los autores introducen y utilizan algunas ultram etricas en el conjunto de los mor smos shape entre dos espacios topol ogicos punteados. En particular, si el dominio es (S1; 1); la construcci on realizada en [68] permite explicitar una ultram etrica en el grupo shape 1(X; x0) de un espacio m etrico compacto X; como ya fue observado en [69] y [80]. Si el espacio no es m etrico compacto, la construcci on nos lleva a utilizar el concepto de ultram etrica generalizada, en el sentido de Priess-Crampe y Ribenboim [78, 79]. En [7], D. K. Biss introduce la idea de topologizar el grupo fundamental de un espacio, de forma que la topolog a en 1(X; x0) sea una topolog a de grupo que permita detectar la (no) existencia de un recubridor universal para X: La forma de proceder sugerida es tomar en 1(X; x0)la toplog a cociente inducida por la topolog a compacto-abierta en el espacio de lazos (X; x0): Sin embargo, hay algunos errores en el art culo mencionado: en concreto, el error relacionado con el presente trabajo fue puesto de mani esto por P. Fabel en [33], mostrando que, en general, la operaci on de grupo en 1(X; x0)con la topolog a cociente no es continua. Utilizando un punto de vista similar, varios autores han tratado de dotar al grupo fundamental con una topolog a, de forma que 1(X; x0) sea un grupo topol ogico y la proyecci on q (X; x0){u100000} 1(X; x0)sea continua...

Hyperspaces, shape theory and computational topology

Esta tesis trata sobre aproximaciones de espacios métricos compactos. La aproximación y reconstrucción de espacios topológicos mediante otros más sencillos es un tema antigüo en topología geométrica. La idea es construir un espacio muy sencillo lo más parecido posible al espacio original. Como es muy difícil (o incluso no tiene sentido) intentar obtener una copia homeomorfa, el objetivo será encontrar un espacio que preserve algunas propriedades topológicas (algebraicas o no) como compacidad, conexión, axiomas de separación, tipo de homotopía, grupos de homotopía y homología, etc. Los primeros candidatos como espacios sencillos con propiedades del espacio original son los poliedros. Ver el artículo [45] para los resultados principales. En el germen de esta idea, destacamos los estudios de Alexandroff en los años 20, relacionando la dimensión del compacto métrico con la dimensión de ciertos poliedros a través de aplicaciones con imágenes o preimágenes controladas (en términos de distancias). En un contexto más moderno, la idea de aproximación puede ser realizada construyendo un complejo simplicial basado en el espacio original, como el complejo de Vietoris-Rips o el complejo de Cech y comparar su realización con él. En este sentido, tenemos el clásico lema del nervio [12, 21] el cual establece que para un recubrimiento por abiertos “suficientemente bueno" del espacio (es decir, un recubrimiento con miembros e intersecciones contractibles o vacías), el nervio del recubrimiento tiene el tipo de homotopía del espacio original. El problema es encontrar estos recubrimientos (si es que existen). Para variedades Riemannianas, existen algunos resultados en este sentido, utilizando los complejos de Vietoris-Rips. Hausmann demostró [35] que la realización del complejo de Vietoris-Rips de la variedad, para valores suficientemente bajos del parámetro, tiene el tipo de homotopía de dicha variedad. En [40], Latschev demostró una conjetura establecida por Hausmann: El tipo de homotopía de la variedad se puede recuperar utilizando un conjunto finito de puntos (suficientemente denso) para el complejo de Vietoris-Rips. Los resultados de Petersen [58], comparando la distancia Gromov-Hausdorff de los compactos métricos con su tipo de homotopía, son también interesantes. Aquí, los poliedros salen a relucir en las demostraciones, no en los resultados...

Locally recurrent functions, density topologies and algebraic genericity

We study the algebraic and topological genericity of certain subsets of locally recurrent functions, obtaining (among other results) algebrability and spaceability within these classes.

Locally recurrent functions, density topologies and algebraic genericity

We study the algebraic and topological genericity of certain subsets of locally recurrent functions, obtaining (among other results) algebrability and spaceability within these classes.

On the Set of Locally Convex Topologies Compatible with a Given Topology on a Vector Space: Cardinality Aspects

For a topological vector space (X, τ ), we consider the family LCT (X, τ ) of all locally convex topologies defined on X, which give rise to the same continuous linear functionals as the original topology τ . We prove that for an infinite-dimensional reflexive Banach space (X, τ ), the cardinality of LCT (X, τ ) is at least c.

Mackey topology on locally convex spaces and on locally quasi-convex groups. Similarities and historical remarks

A counterpart of the Mackey–Arens Theorem for the class of locally quasi-convex topological Abelian groups (LQC-groups) was initiated in Chasco et al. (Stud Math 132(3):257–284, 1999). Several authors have been interested in the problems posed there and have done clarifying contributions, although the main question of that source remains open. Some differences between the Mackey Theory for locally convex spaces and for locally quasi-convex groups, stem from the following fact: The supremum of all compatible locally quasi-convex topologies for a topological abelian group G may not coincide with the topology of uniform convergence on the weak quasi-convex compact subsets of the dual groupG∧. Thus, a substantial part of the classical Mackey–Arens Theorem cannot be generalized to LQC-groups. Furthermore, the mentioned fact gives rise to a grading in the property of “being a Mackey group”, as defined and thoroughly studied in Díaz Nieto and Martín-Peinador (Proceedings in Mathematics and Statistics 80:119–144, 2014). At present it is not known—and this is the main open question—if the supremum of all the compatible locally quasi-convex topologies on a topological group is in fact a compatible topology. In the present paper we do a sort of historical review on the Mackey Theory, and we compare it in the two settings of locally convex spaces and of locally quasi-convex groups. We point out some general questions which are still open, under the name of Problems.