Hyperspaces, shape theory and computational topology

Esta tesis trata sobre aproximaciones de espacios métricos compactos. La aproximación y reconstrucción de espacios topológicos mediante otros más sencillos es un tema antigüo en topología geométrica. La idea es construir un espacio muy sencillo lo más parecido posible al espacio original. Como es muy difícil (o incluso no tiene sentido) intentar obtener una copia homeomorfa, el objetivo será encontrar un espacio que preserve algunas propriedades topológicas (algebraicas o no) como compacidad, conexión, axiomas de separación, tipo de homotopía, grupos de homotopía y homología, etc. Los primeros candidatos como espacios sencillos con propiedades del espacio original son los poliedros. Ver el artículo [45] para los resultados principales. En el germen de esta idea, destacamos los estudios de Alexandroff en los años 20, relacionando la dimensión del compacto métrico con la dimensión de ciertos poliedros a través de aplicaciones con imágenes o preimágenes controladas (en términos de distancias). En un contexto más moderno, la idea de aproximación puede ser realizada construyendo un complejo simplicial basado en el espacio original, como el complejo de Vietoris-Rips o el complejo de Cech y comparar su realización con él. En este sentido, tenemos el clásico lema del nervio [12, 21] el cual establece que para un recubrimiento por abiertos “suficientemente bueno" del espacio (es decir, un recubrimiento con miembros e intersecciones contractibles o vacías), el nervio del recubrimiento tiene el tipo de homotopía del espacio original. El problema es encontrar estos recubrimientos (si es que existen). Para variedades Riemannianas, existen algunos resultados en este sentido, utilizando los complejos de Vietoris-Rips. Hausmann demostró [35] que la realización del complejo de Vietoris-Rips de la variedad, para valores suficientemente bajos del parámetro, tiene el tipo de homotopía de dicha variedad. En [40], Latschev demostró una conjetura establecida por Hausmann: El tipo de homotopía de la variedad se puede recuperar utilizando un conjunto finito de puntos (suficientemente denso) para el complejo de Vietoris-Rips. Los resultados de Petersen [58], comparando la distancia Gromov-Hausdorff de los compactos métricos con su tipo de homotopía, son también interesantes. Aquí, los poliedros salen a relucir en las demostraciones, no en los resultados...

Bayesian estimation in generalized autoregressive conditional heteroskedasticity models

Esta tesis doctoral nace con el propósito de entender, analizar y sobre todo modelizar el comportamiento estadístico de las series financieras. En este sentido, se puede afirmar que los modelos que mejor recogen las especiales características de estas series son los modelos de heterocedasticidad condicionada en tiempo discreto,si los intervalos de tiempo en los que se recogen los datos lo permiten, y en tiempo continuo si tenemos datos diarios o datos intradía. Con esta finalidad, en esta tesis se proponen distintos estimadores bayesianos para la estimación de los parámetros de los modelos GARCH en tiempo discreto (Bollerslev (1986)) y COGARCH en tiempo continuo (Kluppelberg et al. (2004)). En el capítulo 1 se introducen las características de las series financieras y se presentan los modelos ARCH, GARCH y COGARCH, así como sus principales propiedades. Mandelbrot (1963) destacó que las series financieras no presentan estacionariedad y que sus incrementos no presentan autocorrelación, aunque sus cuadrados sí están correlacionados. Señaló también que la volatilidad que presentan no es constante y que aparecen clusters de volatilidad. Observó la falta de normalidad de las series financieras, debida principalmente a su comportamiento leptocúrtico, y también destacó los efectos estacionales que presentan las series, analizando como se ven afectadas por la época del año o el día de la semana. Posteriormente Black (1976) completó la lista de características especiales incluyendo los denominados leverage effects relacionados con como las fluctuaciones positivas y negativas de los precios de los activos afectan a la volatilidad de las series de forma distinta.