Hyperspaces, shape theory and computational topology

Esta tesis trata sobre aproximaciones de espacios métricos compactos. La aproximación y reconstrucción de espacios topológicos mediante otros más sencillos es un tema antigüo en topología geométrica. La idea es construir un espacio muy sencillo lo más parecido posible al espacio original. Como es muy difícil (o incluso no tiene sentido) intentar obtener una copia homeomorfa, el objetivo será encontrar un espacio que preserve algunas propriedades topológicas (algebraicas o no) como compacidad, conexión, axiomas de separación, tipo de homotopía, grupos de homotopía y homología, etc. Los primeros candidatos como espacios sencillos con propiedades del espacio original son los poliedros. Ver el artículo [45] para los resultados principales. En el germen de esta idea, destacamos los estudios de Alexandroff en los años 20, relacionando la dimensión del compacto métrico con la dimensión de ciertos poliedros a través de aplicaciones con imágenes o preimágenes controladas (en términos de distancias). En un contexto más moderno, la idea de aproximación puede ser realizada construyendo un complejo simplicial basado en el espacio original, como el complejo de Vietoris-Rips o el complejo de Cech y comparar su realización con él. En este sentido, tenemos el clásico lema del nervio [12, 21] el cual establece que para un recubrimiento por abiertos “suficientemente bueno" del espacio (es decir, un recubrimiento con miembros e intersecciones contractibles o vacías), el nervio del recubrimiento tiene el tipo de homotopía del espacio original. El problema es encontrar estos recubrimientos (si es que existen). Para variedades Riemannianas, existen algunos resultados en este sentido, utilizando los complejos de Vietoris-Rips. Hausmann demostró [35] que la realización del complejo de Vietoris-Rips de la variedad, para valores suficientemente bajos del parámetro, tiene el tipo de homotopía de dicha variedad. En [40], Latschev demostró una conjetura establecida por Hausmann: El tipo de homotopía de la variedad se puede recuperar utilizando un conjunto finito de puntos (suficientemente denso) para el complejo de Vietoris-Rips. Los resultados de Petersen [58], comparando la distancia Gromov-Hausdorff de los compactos métricos con su tipo de homotopía, son también interesantes. Aquí, los poliedros salen a relucir en las demostraciones, no en los resultados...

Mid-infrared spectroscopy of lensed galaxies at 1 < z < 3: The nature of sources near the MIPS confusion limit

We present Spitzer IRS mid-infrared spectra for 15 gravitationally lensed, 24 μm-selected galaxies, and combine the results with four additional very faint galaxies with IRS spectra in the literature. The median intrinsic 24 μm flux density of the sample is 130 μJy, enabling a systematic survey of the spectral properties of the very faint 24 μm sources that dominate the number counts of Spitzer cosmological surveys. Six of the 19 galaxy spectra (32%) show the strong mid-IR continuua expected of AGNs; X-ray detections confirm the presence of AGNs in three of these cases, and reveal AGNs in two other galaxies. These results suggest that nuclear accretion may contribute more flux to faint 24 μm-selected samples than previously assumed. Almost all the spectra show some aromatic (PAH) emission features; the measured aromatic flux ratios do not show evolution from z = 0. In particular, the high signal-to-noise mid-IR spectrum of SMM J163554.2+661225 agrees remarkably well with low-redshift, lower luminosity templates. We compare the rest-frame 8 μm and total infrared luminosities of star-forming galaxies, and find that the behavior of this ratio with total IR luminosity has evolved modestly from z = 2 to z = 0. Since the high aromatic-to-continuum flux ratios in these galaxies rule out a dominant contribution by AGNs, this finding implies systematic evolution in the structure and/or metallicity of infrared sources with redshift. It also has implications for the estimates of star-forming rates inferred from 24 μm measurements, in the sense that at z ~ 2, a given observed frame 24 μm luminosity corresponds to a lower bolometric luminosity than would be inferred from low-redshift templates of similar luminosity at the corresponding rest wavelength.