On the uniform approximation of Cauchy continuous functions

In the context of real-valued functions defined on metric spaces, it is known that the locally Lipschitz functions are uniformly dense in the continuous functions and that the Lipschitz in the small functions - the locally Lipschitz functions where both the local Lipschitz constant and the size of the neighborhood can be chosen independent of the point - are uniformly dense in the uniformly continuous functions. Between these two basic classes of continuous functions lies the class of Cauchy continuous functions, i.e., the functions that map Cauchy sequences in the domain to Cauchy sequences in the target space. Here, we exhibit an intermediate class of Cauchy continuous locally Lipschitz functions that is uniformly dense in the real-valued Cauchy continuous functions. In fact, our result is valid when our target space is an arbitrary Banach space.

On the nullstellensätze for stein spaces and C-analytic sets.

In this work we prove the real Nullstellensatz for the ring O(X) of analytic functions on a C-analytic set X ⊂ Rn in terms of the saturation of Łojasiewicz’s radical in O(X): The ideal I(Ƶ(a)) of the zero-set Ƶ(a) of an ideal a of O(X) coincides with the saturation (Formula presented) of Łojasiewicz’s radical (Formula presented). If Ƶ(a) has ‘good properties’ concerning Hilbert’s 17th Problem, then I(Ƶ(a)) = (Formula presented) where (Formula presented) stands for the real radical of a. The same holds if we replace (Formula presented) with the real-analytic radical (Formula presented) of a, which is a natural generalization of the real radical ideal in the C-analytic setting. We revisit the classical results concerning (Hilbert’s) Nullstellensatz in the framework of (complex) Stein spaces. Let a be a saturated ideal of O(Rn) and YRn the germ of the support of the coherent sheaf that extends aORn to a suitable complex open neighborhood of Rn. We study the relationship between a normal primary decomposition of a and the decomposition of YRn as the union of its irreducible components. If a:= p is prime, then I(Ƶ(p)) = p if and only if the (complex) dimension of YRn coincides with the (real) dimension of Ƶ(p).

Holomorphic functions on non-Runge domains and related problems.

Let U be a domain in CN that is not a Runge domain. We study the topological and algebraic properties of the family of holomorphic functions on U which cannot be approximated by polynomials.

E-polynomial of SL(2,C)-character varieties of complex curves of genus 3.

We compute the E-polynomials of the moduli spaces of representations of the fundamental group of a complex curve of genus g = 3 into SL(2, C), and also of the moduli space of twisted representations. The case of genus g = 1, 2 has already been done in [12]. We follow the geometric technique introduced in [12], based on stratifying the space of representations, and on the analysis of the behaviour of the E-polynomial under fibrations.

Los orbitales en la educación química: un análisis mediante su representación gráfica

La constitución atómica de la materia está en la base de la química. Saber cómo se unen y cómo se separan los átomos es tener la clave de las transformaciones de la materia, que son el objeto de esta ciencia. Tendemos a imaginarnos a los átomos como pequeñas partículas, como bolitas, pero desde los años 1930 sabemos que no se puede entender su comportamiento microscópico mediante la física clásica. La mejor teoría que tenemos para este dominio es la mecánica cuántica, pero en ella la descripción más fundamental y completa de los sistemas no es a través de las variables clásicas, propias de las partículas, como la posición y el momento, sino de la función de onda. La función de onda es un objeto matemático que contiene toda la información del sistema. Sin embargo, ni extraer esa información ni interpretarla es sencillo, lo que supone una serie de problemas. Por ejemplo, casi noventa años después de su nacimiento la teoría cuántica apenas está presente en la enseñanza secundaria. Y el problema no afecta sólo al ámbito educativo. Por ejemplo, la química había desarrollado desde mediados del siglo XIX la teoría estructural, de enorme poder explicativo, que los químicos siguen empleando hoy en día. Además, si la función de onda de una partícula es un objeto extraño, la de un sistema de varias, como una molécula es, además, difícil de tratar matemáticamente. Pero la química necesitaba acceder a la estructura microscópica y a la reactividad de las moléculas... Mucho antes de que el avance de la computación pusiera a disposición de los químicos herramientas para resolver por la fuerza sus problemas, ya habían desarrollado modelos para incorporar la mecánica cuántica de forma relativamente sencilla a su arsenal y en esos modelos los protagonistas eran un tipo especial de funciones de onda, los orbitales. Los orbitales son funciones de onda de una sola partícula y por tanto mucho más sencillas de calcular e interpretar que las de los sistemas complejos. A cambio, no dan cuenta de todas las complejidades de una molécula, por ejemplo de las interacciones entre sus electrones. La química es una ciencia capaz de utilizar simultáneamente varios modelos diferentes e incluso contradictorios para cubrir su territorio y eso es lo que hizo, de más de una manera, con los orbitales, de origen cuántico, la teoría estructural clásica y los modelos semiclásicos del enlace a través de pares de electrones localizados. El resultado es un modelo híbrido y difícil de definir, pero eficaz, versátil, intuitivo, visualizable... y limitado, que se puede introducir incluso en niveles preuniversitarios. A pesar de eso, la enseñanza de los modelos cuánticos sigue siendo problemática. A los alumnos les resultan complicados y muchos expertos creen además que los confunden y mezclan con los clásicos. Se trata, pues de un problema abierto. Esta tesis tiene el propósito de dilucidar el papel de los orbitales en la educación química analizando casos de uso de sus representaciones gráficas, que son muy importantes en toda la química y aún más en estos modelos, que tienen un fuerte componente visual, analógico y metafórico. Los resultados de los análisis muestran una notable coherencia de uso de las imágenes de orbitales en enseñanza e investigación: En química los orbitales no son únicamente funciones matemáticas que se extienden por toda la molécula, sino también contenedores de electrones localizados que interaccionan por proximidad con transferencia de electrones Muchas veces estos modelos intuitivos se utilizan después de los cálculos cuánticos para interpretar los resultados en términos próximos a la química estructural. Aquí está la principal diferencia con los usos educativos: en la enseñanza, especialmente la introductoria, el modelo intuitivo tiende a ser el único que se usa.