Metodología multiobjetivo aplicada a análisis de datos

En este trabajo, se realiza una presentación unificada de la Programación Multiobjetivo, describiendo y relacionando los distintos conceptos de solución y exponiendo las distintas técnicas de solución. Se formula el problema multiobjetivo mediante una séxtupla, (O, V, X, f, Y, EP), que permite unificar los muy diversos problemas multiobjetivo que surgen en distintos ámbitos. O representa el conjunto de objetos inicial, V representa el conjunto de las características relevantes que se miden sobre los objetos, X es el espacio de alternativas, f representa la familia de objetivos, Y es el espacio de resultados y EP es la estructura de preferencias del decisor. A partir de esta formulación, se realiza un amplio estudio de los distintos problemas multiobjetivo. Además, se aplica la metodología multiobjetivo a dos problemas concretos de gran interés práctico. En primer lugar, se aborda el problema de seleccionar el mejor tratamiento, cuando sobre las unidades experimentales, elegidas de forma aleatoria, se observan varias variables respuesta. Se consideran Modelos Discretos, Modelos Continuos Paramétricos y Modelos No Paramétricos. El último capítulo del trabajo, se dedica al estudio del problema multiobjetivo que se presenta cuando se desea representar, un conjunto finito de objetos, sobre la recta real, de forma que se refleje, lo más fielmente posible, la desemejanza de cada par de objetos. En el caso de que la desemejanza cumpla la propiedad de ser naturalmente ordenable, se ha diseñado y programado, un algoritmo, en tiempo polinomial, que obtiene la solución óptima del problema...

Hyperspaces, shape theory and computational topology

Esta tesis trata sobre aproximaciones de espacios métricos compactos. La aproximación y reconstrucción de espacios topológicos mediante otros más sencillos es un tema antigüo en topología geométrica. La idea es construir un espacio muy sencillo lo más parecido posible al espacio original. Como es muy difícil (o incluso no tiene sentido) intentar obtener una copia homeomorfa, el objetivo será encontrar un espacio que preserve algunas propriedades topológicas (algebraicas o no) como compacidad, conexión, axiomas de separación, tipo de homotopía, grupos de homotopía y homología, etc. Los primeros candidatos como espacios sencillos con propiedades del espacio original son los poliedros. Ver el artículo [45] para los resultados principales. En el germen de esta idea, destacamos los estudios de Alexandroff en los años 20, relacionando la dimensión del compacto métrico con la dimensión de ciertos poliedros a través de aplicaciones con imágenes o preimágenes controladas (en términos de distancias). En un contexto más moderno, la idea de aproximación puede ser realizada construyendo un complejo simplicial basado en el espacio original, como el complejo de Vietoris-Rips o el complejo de Cech y comparar su realización con él. En este sentido, tenemos el clásico lema del nervio [12, 21] el cual establece que para un recubrimiento por abiertos “suficientemente bueno" del espacio (es decir, un recubrimiento con miembros e intersecciones contractibles o vacías), el nervio del recubrimiento tiene el tipo de homotopía del espacio original. El problema es encontrar estos recubrimientos (si es que existen). Para variedades Riemannianas, existen algunos resultados en este sentido, utilizando los complejos de Vietoris-Rips. Hausmann demostró [35] que la realización del complejo de Vietoris-Rips de la variedad, para valores suficientemente bajos del parámetro, tiene el tipo de homotopía de dicha variedad. En [40], Latschev demostró una conjetura establecida por Hausmann: El tipo de homotopía de la variedad se puede recuperar utilizando un conjunto finito de puntos (suficientemente denso) para el complejo de Vietoris-Rips. Los resultados de Petersen [58], comparando la distancia Gromov-Hausdorff de los compactos métricos con su tipo de homotopía, son también interesantes. Aquí, los poliedros salen a relucir en las demostraciones, no en los resultados...