Topologies on groups related to the theory of shape and generalized coverings

El presente trabajo consiste en dos partes diferenciadas: la principal de ellas (Cap tulos 1 y 2) est a dedicada a introducir estructura adicional en grupos que aparecen de manera natural en el contexto de la teor a de la forma. En la segunda parte (Cap tulo 3), se plantea c omo generalizar la teor a de espacios recubridores y, en particular, se propone una l nea de trabajo relacionada con la teor a de la forma. El punto de partida de esta tesis doctoral son los trabajos [25, 26, 68, 69, 70] en los que los autores introducen y utilizan algunas ultram etricas en el conjunto de los mor smos shape entre dos espacios topol ogicos punteados. En particular, si el dominio es (S1; 1); la construcci on realizada en [68] permite explicitar una ultram etrica en el grupo shape 1(X; x0) de un espacio m etrico compacto X; como ya fue observado en [69] y [80]. Si el espacio no es m etrico compacto, la construcci on nos lleva a utilizar el concepto de ultram etrica generalizada, en el sentido de Priess-Crampe y Ribenboim [78, 79]. En [7], D. K. Biss introduce la idea de topologizar el grupo fundamental de un espacio, de forma que la topolog a en 1(X; x0) sea una topolog a de grupo que permita detectar la (no) existencia de un recubridor universal para X: La forma de proceder sugerida es tomar en 1(X; x0)la toplog a cociente inducida por la topolog a compacto-abierta en el espacio de lazos (X; x0): Sin embargo, hay algunos errores en el art culo mencionado: en concreto, el error relacionado con el presente trabajo fue puesto de mani esto por P. Fabel en [33], mostrando que, en general, la operaci on de grupo en 1(X; x0)con la topolog a cociente no es continua. Utilizando un punto de vista similar, varios autores han tratado de dotar al grupo fundamental con una topolog a, de forma que 1(X; x0) sea un grupo topol ogico y la proyecci on q (X; x0){u100000} 1(X; x0)sea continua...

Hyperspaces, shape theory and computational topology

Esta tesis trata sobre aproximaciones de espacios métricos compactos. La aproximación y reconstrucción de espacios topológicos mediante otros más sencillos es un tema antigüo en topología geométrica. La idea es construir un espacio muy sencillo lo más parecido posible al espacio original. Como es muy difícil (o incluso no tiene sentido) intentar obtener una copia homeomorfa, el objetivo será encontrar un espacio que preserve algunas propriedades topológicas (algebraicas o no) como compacidad, conexión, axiomas de separación, tipo de homotopía, grupos de homotopía y homología, etc. Los primeros candidatos como espacios sencillos con propiedades del espacio original son los poliedros. Ver el artículo [45] para los resultados principales. En el germen de esta idea, destacamos los estudios de Alexandroff en los años 20, relacionando la dimensión del compacto métrico con la dimensión de ciertos poliedros a través de aplicaciones con imágenes o preimágenes controladas (en términos de distancias). En un contexto más moderno, la idea de aproximación puede ser realizada construyendo un complejo simplicial basado en el espacio original, como el complejo de Vietoris-Rips o el complejo de Cech y comparar su realización con él. En este sentido, tenemos el clásico lema del nervio [12, 21] el cual establece que para un recubrimiento por abiertos “suficientemente bueno" del espacio (es decir, un recubrimiento con miembros e intersecciones contractibles o vacías), el nervio del recubrimiento tiene el tipo de homotopía del espacio original. El problema es encontrar estos recubrimientos (si es que existen). Para variedades Riemannianas, existen algunos resultados en este sentido, utilizando los complejos de Vietoris-Rips. Hausmann demostró [35] que la realización del complejo de Vietoris-Rips de la variedad, para valores suficientemente bajos del parámetro, tiene el tipo de homotopía de dicha variedad. En [40], Latschev demostró una conjetura establecida por Hausmann: El tipo de homotopía de la variedad se puede recuperar utilizando un conjunto finito de puntos (suficientemente denso) para el complejo de Vietoris-Rips. Los resultados de Petersen [58], comparando la distancia Gromov-Hausdorff de los compactos métricos con su tipo de homotopía, son también interesantes. Aquí, los poliedros salen a relucir en las demostraciones, no en los resultados...

Extensión y posición del Simbolismo español en las afueras del Modernismo catalán

El amplio mapa del Simbolismo europeo vivió un momento sobresaliente a finales del siglo XIX y con el cambio de siglo. Los simbolistas no convivieron como un grupo compacto. Fueron decadentes y estetas a los que unió una búsqueda y un espíritu común. Les interesó lo esotérico, lo secreto y crearon un nuevo mundo hermético con aquello que no está a simple vista en la realidad. Presentaron una irrealidad de ensueño aludiendo a contenidos en profundidad. La atención a lo subjetivo, a la apariencia no objetiva y la oscuridad romántica fueron antecedentes que anunciaron los contenidos cultivados por los simbolistas. La naturaleza difusa del Simbolismo se sirvió de justificaciones poéticas, literarias y filosóficas. Las referencias formales y poéticas atienden a sus dilatados contenidos. La emoción espiritual se adentra en lo intangible e indefinible de la magia simbolista. La influencia del Simbolismo en España se hace notar con cierto retraso y la cronología difiere de los ejemplos del resto de Europa. En el caso español nos movemos entre los años 1890 y 1930. Se ha distinguido un primer núcleo aventajado en Barcelona, con nombres propios como el de Rusiñol y el círculo de los Llimona. Posteriormente los artistas del entorno de Valle-Inclán y su tertulia en el madrileño Nuevo Café de Levante se convertirán en otro exponente que aglutine a artistas diversos. Las Exposiciones Nacionales de Bellas Artes y la repercusión crítica, también añaden información del impacto simbolista en el arte español. Además del núcleo madrileño existe un conjunto de referentes periféricos y artistas “olvidados” igualmente relevantes. Observando las obras simbolistas, se subraya una actitud común en estos artistas. Este talante es clave para trazar un hilo conductor entre los autores. Las formas varían, los significados se solapan y las señas visuales se alteran al no responder a unos cánones siempre fijos. Por ello, es la actitud lo que une a los pintores, escultores y literatos. Decadentismo, Dandysmo, Ocultismo o Esoterismo, son piezas añadidas a esta amalgama artística. Ser simbolista significa trascender más allá de la vida cotidiana. El simbolista accede y cultiva un universo enigmático, turbador y lírico. Es la vía para abandonar lo rutinario. El artista prefiere ensimismarse y regodearse en la creación. Una complicación añadida a su definición, es la falta de unidad estilística o unas características visuales siempre repetidas. Es importante prestar atención a los contenidos de fondo para distinguir puntos de encuentro comunes. Eso sí, los artistas españoles recibieron estas ideas e influencias de manera muy personal. También se añaden otros aspectos como los Regionalismos o la confrontación España Blanca - España Negra. Las fuentes de inspiración miran al Renacimiento, los Primitivos italianos o los Prerrafaelitas ingleses. Existen problemáticas, convivencias y diferentes ingredientes que se suman al discurso del Simbolismo español. El Modernismo, la Generación del 98, los Nacionalismos históricos, Orientalismo, Flamenquismo, Esteticismo, Wagnerianismo o el paisaje, revelan señas simbolistas. Extensión y posición del Simbolismo español en las afueras del Modernismo catalán es el título de esta Tesis Doctoral, en busca de una definición de un momento artístico complejo, rico y desbordante.