Los programas While: bases para una teoría de la computabilidad

La Teoría de la Computabilidad estudia los límites teóricos de los sistemas computacionales. Uno de sus objetivos centrales consiste en clasificar los problemas en computables e incomputables, donde llamamos computable a un problema si admite solución informática. Para desarrollar estos resultados el modelo abstracto de computador más utilizado históricamente es la Máquina de Turing. Los estudiantes de Ingeniería Informática pueden percibir cierta lejanía entre el modelo teórico y los computadores reales por lo que es más adecuado utilizar un modelo más cercano a la programación como son los programas-while. Los Programas-while permiten resolver los mismos problemas que las máquinas de Turing, pero en cambio son mucho más sencillos de utilizar, sobre todo para personas que tienen una experiencia previa en la informática real, pues toman la forma de lenguaje imperativo clásico. Este texto además utiliza los Programas-while aprovechando sus ventajas y reformulándolos de manera que la computación quede definida en términos de manipulación de símbolos arbitrarios, algo que está mucho más en concordancia con la realidad informática. Además de explicar en detalle qué son los programas while y cómo se utilizan, se justifica por qué no es necesario incorporar otras instrucciones o tipos de datos.

El método de reducción en Teoría de la Computabilidad

La Teoría de la Computabilidad es una disciplina encuadrada en la Informática Teórica que tiene como objetivo establecer los límites lógicos que presentan los sistemas informáticos a la hora de resolver problemas mediante el diseño de algoritmos. Estos resultados proporcionan importantes herramientas que se utilizan para demostrar tanto la computabilidad como la incomputabilidad de muchas funciones relevantes. Los primeros problemas incomputables que se encontraron lo fueron allá por la década de los años 30. El problema de parada es el primer y más conocido ejemplo de problema no resoluble mediante técnicas algorítmicas: ningún ordenador, por muy potente que sea, puede anticipar el comportamiento de los programas en ejecución, y decidir de antemano si terminarán o no. Este problema nos proporciona un soporte intuitivo para anticipar la incomputabilidad de otros problemas relacionados y un procedimiento para resolverlos: el método de diagonalización. Sin embargo para determinados problemas también incomputables hay que recurrir a otros métodos. Este texto incluye una descripción de otra técnica básica de Teoría de la Computabilidad: la Reducción. La base del método estriba en demostrar que ciertos pares de problemas están fuertemente relacionados de modo que si el segundo tiene solución algorítmica entonces el primero debe tenerla necesariamente también. Esta relación se establece por medio de funciones transformadoras computables, que permiten convertir de manera automática las instancias positivas del primer problema en instancias positivas del segundo. Esta técnica se utiliza muy a menudo porque resulta comparativamente más sencilla que la diagonalización, ya que en general requiere menos esfuerzo para demostrar la incomputabilidad de un mismo problema.