Estudo do comportamento caótico e determinação de dimensão fractal em modelos pré-inflacionários não compactos

O caos determinístico é um dos aspectos mais interessantes no que diz respeito à teoria moderna dos sistemas dinâmicos, e está intrinsecamente associado a pequenas variações nas condições iniciais de um dado modelo. Neste trabalho, é feito um estudo acerca do comportamento caótico em dois casos específicos. Primeiramente, estudam-se modelos préinflacionários não-compactos de Friedmann-Robertson-Walker com campo escalar minimamente acoplado e, em seguida, modelos anisotrópicos de Bianchi IX. Em ambos os casos, o componente material é um fluido perfeito. Tais modelos possuem constante cosmológica e podem ser estudados através de uma descrição unificada, a partir de transformações de variáveis convenientes. Estes sistemas possuem estruturas similares no espaço de fases, denominadas centros-sela, que fazem com que as soluções estejam contidas em hipersuperfícies cuja topologia é cilíndrica. Estas estruturas dominam a relação entre colapso e escape para a inflação, que podem ser tratadas como bacias cuja fronteira pode ser fractal, e que podem ser associadas a uma estrutura denominada repulsor estranho. Utilizando o método de contagem de caixas, são calculadas as dimensões características das fronteiras nos modelos, o que envolve técnicas e algoritmos de computação numérica, e tal método permite estudar o escape caótico para a inflação.

Localização eletrônica de sistemas aperiódicos em uma dimensão

Desde a descoberta do estado quasicristalino por Daniel Shechtman et al. em 1984 e da fabricação por Roberto Merlin et al. de uma superrede artificial de GaAs/ AlAs em 1985 com características da sequência de Fibonacci, um grande número de trabalhos teóricos e experimentais tem relatado uma variedade de propriedades interessantes no comportamento de sistemas aperiódicos. Do ponto de vista teórico, é bem sabido que a cadeia de Fibonacci em uma dimensão se constitui em um protótipo de sucesso para a descrição do estado quasicristalino de um sólido. Dependendo da regra de inflação, diferentes tipos de estruturas aperiódicas podem ser obtidas. Esta diversidade originou as chamadas regras metálicas e devido à possibilidade de tratamento analítico rigoroso este modelo tem sido amplamente estudado. Neste trabalho, propriedades de localização em uma dimensão são analisadas considerando-se um conjunto de regras metálicas e o modelo de ligações fortes de banda única. Considerando-se o Hamiltoniano de ligações fortes com um orbital por sítio obtemos um conjunto de transformações relativas aos parâmetros de dizimação, o que nos permitiu calcular as densidades de estados (DOS) para todas as configurações estudadas. O estudo detalhado da densidade de estados integrada (IDOS) para estes casos, mostra o surgimento de plateaux na curva do número de ocupação explicitando o aparecimento da chamada escada do diabo" e também o caráter fractal destas estruturas. Estudando o comportamento da variação da energia em função da variação da energia de hopping, construímos padrões do tipo borboletas de Hofstadter, que simulam o efeito de um campo magnético atuando sobre o sistema. A natureza eletrônica dos auto estados é analisada a partir do expoente de Lyapunov (γ), que está relacionado com a evolução da função de onda eletrônica ao longo da cadeia unidimensional. O expoente de Lyapunov está relacionado com o inverso do comprimento de localização (ξ= 1 /γ), sendo nulo para os estados estendidos e positivo para estados localizados. Isto define claramente as posições dos principais gaps de energia do sistema. Desta forma, foi possível analisar o comportamento autossimilar de cadeias com diferentes regras de formação. Analisando-se o espectro de energia em função do número de geração de cadeias que seguem as regras de ouro e prata foi feito, obtemos conjuntos do tipo-Cantor, que nos permitiu estudar o perfil do calor específico de uma cadeia e Fibonacci unidimensional para diversas gerações