The estimation of truncation error by tau-estimation revisited

The aim of this paper was to accurately estimate the local truncation error of partial differential equations, that are numerically solved using a finite difference or finite volume approach on structured and unstructured meshes. In this work, we approximated the local truncation error using the @t-estimation procedure, which aims to compare the residuals on a sequence of grids with different spacing. First, we focused the analysis on one-dimensional scalar linear and non-linear test cases to examine the accuracy of the estimation of the truncation error for both finite difference and finite volume approaches on different grid topologies. Then, we extended the analysis to two-dimensional problems: first on linear and non-linear scalar equations and finally on the Euler equations. We demonstrated that this approach yields a highly accurate estimation of the truncation error if some conditions are fulfilled. These conditions are related to the accuracy of the restriction operators, the choice of the boundary conditions, the distortion of the grids and the magnitude of the iteration error.

Numerical Error Prediction and its applications in CFD using tau-estimation

Nowadays, Computational Fluid Dynamics (CFD) solvers are widely used within the industry to model fluid flow phenomenons. Several fluid flow model equations have been employed in the last decades to simulate and predict forces acting, for example, on different aircraft configurations. Computational time and accuracy are strongly dependent on the fluid flow model equation and the spatial dimension of the problem considered. While simple models based on perfect flows, like panel methods or potential flow models can be very fast to solve, they usually suffer from a poor accuracy in order to simulate real flows (transonic, viscous). On the other hand, more complex models such as the full Navier- Stokes equations provide high fidelity predictions but at a much higher computational cost. Thus, a good compromise between accuracy and computational time has to be fixed for engineering applications. A discretisation technique widely used within the industry is the so-called Finite Volume approach on unstructured meshes. This technique spatially discretises the flow motion equations onto a set of elements which form a mesh, a discrete representation of the continuous domain. Using this approach, for a given flow model equation, the accuracy and computational time mainly depend on the distribution of nodes forming the mesh. Therefore, a good compromise between accuracy and computational time might be obtained by carefully defining the mesh. However, defining an optimal mesh for complex flows and geometries requires a very high level expertize in fluid mechanics and numerical analysis, and in most cases a simple guess of regions of the computational domain which might affect the most the accuracy is impossible. Thus, it is desirable to have an automatized remeshing tool, which is more flexible with unstructured meshes than its structured counterpart. However, adaptive methods currently in use still have an opened question: how to efficiently drive the adaptation ? Pioneering sensors based on flow features generally suffer from a lack of reliability, so in the last decade more effort has been made in developing numerical error-based sensors, like for instance the adjoint-based adaptation sensors. While very efficient at adapting meshes for a given functional output, the latter method is very expensive as it requires to solve a dual set of equations and computes the sensor on an embedded mesh. Therefore, it would be desirable to develop a more affordable numerical error estimation method. The current work aims at estimating the truncation error, which arises when discretising a partial differential equation. These are the higher order terms neglected in the construction of the numerical scheme. The truncation error provides very useful information as it is strongly related to the flow model equation and its discretisation. On one hand, it is a very reliable measure of the quality of the mesh, therefore very useful in order to drive a mesh adaptation procedure. On the other hand, it is strongly linked to the flow model equation, so that a careful estimation actually gives information on how well a given equation is solved, which may be useful in the context of _ -extrapolation or zonal modelling. The following work is organized as follows: Chap. 1 contains a short review of mesh adaptation techniques as well as numerical error prediction. In the first section, Sec. 1.1, the basic refinement strategies are reviewed and the main contribution to structured and unstructured mesh adaptation are presented. Sec. 1.2 introduces the definitions of errors encountered when solving Computational Fluid Dynamics problems and reviews the most common approaches to predict them. Chap. 2 is devoted to the mathematical formulation of truncation error estimation in the context of finite volume methodology, as well as a complete verification procedure. Several features are studied, such as the influence of grid non-uniformities, non-linearity, boundary conditions and non-converged numerical solutions. This verification part has been submitted and accepted for publication in the Journal of Computational Physics. Chap. 3 presents a mesh adaptation algorithm based on truncation error estimates and compares the results to a feature-based and an adjoint-based sensor (in collaboration with Jorge Ponsín, INTA). Two- and three-dimensional cases relevant for validation in the aeronautical industry are considered. This part has been submitted and accepted in the AIAA Journal. An extension to Reynolds Averaged Navier- Stokes equations is also included, where _ -estimation-based mesh adaptation and _ -extrapolation are applied to viscous wing profiles. The latter has been submitted in the Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part G: Journal of Aerospace Engineering. Keywords: mesh adaptation, numerical error prediction, finite volume Hoy en día, la Dinámica de Fluidos Computacional (CFD) es ampliamente utilizada dentro de la industria para obtener información sobre fenómenos fluidos. La Dinámica de Fluidos Computacional considera distintas modelizaciones de las ecuaciones fluidas (Potencial, Euler, Navier-Stokes, etc) para simular y predecir las fuerzas que actúan, por ejemplo, sobre una configuración de aeronave. El tiempo de cálculo y la precisión en la solución depende en gran medida de los modelos utilizados, así como de la dimensión espacial del problema considerado. Mientras que modelos simples basados en flujos perfectos, como modelos de flujos potenciales, se pueden resolver rápidamente, por lo general aducen de una baja precisión a la hora de simular flujos reales (viscosos, transónicos, etc). Por otro lado, modelos más complejos tales como el conjunto de ecuaciones de Navier-Stokes proporcionan predicciones de alta fidelidad, a expensas de un coste computacional mucho más elevado. Por lo tanto, en términos de aplicaciones de ingeniería se debe fijar un buen compromiso entre precisión y tiempo de cálculo. Una técnica de discretización ampliamente utilizada en la industria es el método de los Volúmenes Finitos en mallas no estructuradas. Esta técnica discretiza espacialmente las ecuaciones del movimiento del flujo sobre un conjunto de elementos que forman una malla, una representación discreta del dominio continuo. Utilizando este enfoque, para una ecuación de flujo dado, la precisión y el tiempo computacional dependen principalmente de la distribución de los nodos que forman la malla. Por consiguiente, un buen compromiso entre precisión y tiempo de cálculo se podría obtener definiendo cuidadosamente la malla, concentrando sus elementos en aquellas zonas donde sea estrictamente necesario. Sin embargo, la definición de una malla óptima para corrientes y geometrías complejas requiere un nivel muy alto de experiencia en la mecánica de fluidos y el análisis numérico, así como un conocimiento previo de la solución. Aspecto que en la mayoría de los casos no está disponible. Por tanto, es deseable tener una herramienta que permita adaptar los elementos de malla de forma automática, acorde a la solución fluida (remallado). Esta herramienta es generalmente más flexible en mallas no estructuradas que con su homóloga estructurada. No obstante, los métodos de adaptación actualmente en uso todavía dejan una pregunta abierta: cómo conducir de manera eficiente la adaptación. Sensores pioneros basados en las características del flujo en general, adolecen de una falta de fiabilidad, por lo que en la última década se han realizado grandes esfuerzos en el desarrollo numérico de sensores basados en el error, como por ejemplo los sensores basados en el adjunto. A pesar de ser muy eficientes en la adaptación de mallas para un determinado funcional, este último método resulta muy costoso, pues requiere resolver un doble conjunto de ecuaciones: la solución y su adjunta. Por tanto, es deseable desarrollar un método numérico de estimación de error más asequible. El presente trabajo tiene como objetivo estimar el error local de truncación, que aparece cuando se discretiza una ecuación en derivadas parciales. Estos son los términos de orden superior olvidados en la construcción del esquema numérico. El error de truncación proporciona una información muy útil sobre la solución: es una medida muy fiable de la calidad de la malla, obteniendo información que permite llevar a cabo un procedimiento de adaptación de malla. Está fuertemente relacionado al modelo matemático fluido, de modo que una estimación precisa garantiza la idoneidad de dicho modelo en un campo fluido, lo que puede ser útil en el contexto de modelado zonal. Por último, permite mejorar la precisión de la solución resolviendo un nuevo sistema donde el error local actúa como término fuente (_ -extrapolación). El presenta trabajo se organiza de la siguiente manera: Cap. 1 contiene una breve reseña de las técnicas de adaptación de malla, así como de los métodos de predicción de los errores numéricos. En la primera sección, Sec. 1.1, se examinan las estrategias básicas de refinamiento y se presenta la principal contribución a la adaptación de malla estructurada y no estructurada. Sec 1.2 introduce las definiciones de los errores encontrados en la resolución de problemas de Dinámica Computacional de Fluidos y se examinan los enfoques más comunes para predecirlos. Cap. 2 está dedicado a la formulación matemática de la estimación del error de truncación en el contexto de la metodología de Volúmenes Finitos, así como a un procedimiento de verificación completo. Se estudian varias características que influyen en su estimación: la influencia de la falta de uniformidad de la malla, el efecto de las no linealidades del modelo matemático, diferentes condiciones de contorno y soluciones numéricas no convergidas. Esta parte de verificación ha sido presentada y aceptada para su publicación en el Journal of Computational Physics. Cap. 3 presenta un algoritmo de adaptación de malla basado en la estimación del error de truncación y compara los resultados con sensores de featured-based y adjointbased (en colaboración con Jorge Ponsín del INTA). Se consideran casos en dos y tres dimensiones, relevantes para la validación en la industria aeronáutica. Este trabajo ha sido presentado y aceptado en el AIAA Journal. También se incluye una extensión de estos métodos a las ecuaciones RANS (Reynolds Average Navier- Stokes), en donde adaptación de malla basada en _ y _ -extrapolación son aplicados a perfiles con viscosidad de alas. Este último trabajo se ha presentado en los Actas de la Institución de Ingenieros Mecánicos, Parte G: Journal of Aerospace Engineering. Palabras clave: adaptación de malla, predicción del error numérico, volúmenes finitos

Arquitectura moderna en Chile a través de la obra de TAU arquitectos, 1954 – 1971

En la década del sesenta en Chile existió una de las oficinas más importantes en el panorama arquitectónico nacional de todo el siglo XX. Sin embargo, su obra no ha llegado a ser lo suficientemente conocida debido a diferentes razones históricas, políticas y gremiales. Esta oficina desarrolló su labor en un período político de consolidación democrática, pero de graves dificultades económicas debido a problemas estructurales, por lo cual, el Estado debió intervenir para llevar adelante los planes de progreso y desarrollo del país. El objetivo del presente trabajo es poner en valor la obra de esta oficina, denominada TAU arquitectos, compuesta por profesionales que desde su juventud presentaron un gran compromiso con la realidad social y un enorme fervor por la arquitectura. Se trata del primer estudio sistemático de la trayectoria de este equipo de profesionales, titulados en la Facultad de Arquitectura de la Universidad de Chile, en los años cincuenta. El análisis sigue un desarrollo de lo general a lo particular, donde en primer término se esboza el ambiente histórico en que se originó la oficina, para luego estudiar aquellos aspectos que influyeron en su etapa formativa, finalizando con el análisis de sus obras en detalle. El estudio de éstas se realiza en orden cronológico, distinguiendo etapas de consolidación y madurez durante el transcurso de su labor disciplinar. La tesis pone de manifiesto que la producción arquitectónica de esta oficina, fue el reflejo de la utilización de una metodología de trabajo que integraba aspectos de la nueva arquitectura con las técnicas locales, por lo cual presenta ciertas condiciones regionalistas y resalta las características y cualidades propias del lugar. Paralelamente, evidencia que la obra de este equipo respondía al sistema productivo del país, atendiendo a las posibilidades constructivas y al saber profesional de esa época. Al mismo tiempo, la tesis intenta develar las raíces y fundamentos que están implícitas en el diseño de la forma arquitectónica, estudiando las condiciones de la lógica estructural y su resistencia antisísmica, resaltando aspectos como la articulación del espacio colectivo, el sutil manejo del programa, la relación con el lugar y la interesante expresión de los materiales. ABSTRACT In Chile, during the decade of the 60´s, there existed one of the most important offices in the national architectural scene of the 20th century. However, their work is not sufficiently known due to different historical, political and trade reasons. This Office developed their work during a political period of democratic consolidation, with serious economic difficulties due to structural problems; therefore, the State had to intervene to take forward the plans for the country’s progress and development. The objective of the essay is to value the work of this Office, called TAU arquitectos, who since their youth showed a great commitment to the social reality and a huge fervor for architecture. This is the first systematic study of the trajectory of this team of professionals, whom graduated in the 1950´s in the University of Chile in the Faculty of Architecture. The analysis follows a general development to the specific details, where at first, the historic atmosphere of the office is defined and then to study the aspects that influenced the formative stage of the architects and to finalize, with a detailed analysis of their work. The study of these is performed in a chronological order, distinguishing the stages of consolidation and maturity, during the course of their disciplined commitment. The thesis shows that the architectural production of TAU was the reflection of the use of a methodology that incorporated aspects of the new architecture with local techniques, which presents certain regional conditions and therefore highlights the characteristics and qualities of the place. In Parallel, proving that the work of this team, responded to the production system of the country, according to the constructive possibilities and the professional knowledge of that time. At the same time, the thesis tries to unveil the roots and fundamentals that are implicit in the design of the architectural form, studying the conditions of a structural logic and its seismic resistance; highlighting aspects such as articulation of the collective space, the subtle handling of the program, the relationship with the place and the interesting expression of materials.

Adaptation strategies for high order discontinuous Galerkin methods based on Tau-estimation

In this paper three p-adaptation strategies based on the minimization of the truncation error are presented for high order discontinuous Galerkin methods. The truncation error is approximated by means of a ? -estimation procedure and enables the identification of mesh regions that require adaptation. Three adaptation strategies are developed and termed a posteriori, quasi-a priori and quasi-a priori corrected. All strategies require fine solutions, which are obtained by enriching the polynomial order, but while the former needs time converged solutions, the last two rely on non-converged solutions, which lead to faster computations. In addition, the high order method permits the spatial decoupling for the estimated errors and enables anisotropic p-adaptation. These strategies are verified and compared in terms of accuracy and computational cost for the Euler and the compressible Navier?Stokes equations. It is shown that the two quasi- a priori methods achieve a significant reduction in computational cost when compared to a uniform polynomial enrichment. Namely, for a viscous boundary layer flow, we obtain a speedup of 6.6 and 7.6 for the quasi-a priori and quasi-a priori corrected approaches, respectively.